【물리학개론】삼각함수의 성질을 이용한 빠른 문제풀이

사인&코사인 삼각함수의 성질

오늘은 자잘한 팁으로 삼각함수의 성질을 이용하여 문제를 비교적 간단히 푸는 방법에 대해 알아보도록 하겠습니다. 물리학개론에서 사인, 코사인 등 삼각함수가 등장하는 부분이 어디 있을까요? 대표적으로 역학에서 수평, 수직축의 힘의 성분을 나눌 때, 파동의 변위와 속력를 나타낼 때, 굴절 시 입사각이나 굴절각을 나타낼 때 등이 있겠습니다. 이 외에도 삼각함수는 여러 파트에서 응용하여 출제할 수 있기 때문에 오늘 풀이법을 알고 나면 도움이 될 것입니다. 그렇다면 각 분야별로 문제를 통해 어떻게 응용할 수 있는 지 알아보도록 하겠습니다.

 

1) 파동의 변위/속력/(가속도)

파동 식에서 x=Asin(wt), v=Awcos(wt), a=-Aw²sin(wt)로 표현되는 것을 본 적 있을 것입니다. 이 식들에서 등장하는 삼각함수를 이용해 푸는 방법입니다.

2003 기술고시 물리학개론 14번

용수철의 변위는 x=Asin(wt), 속력은 v=Awcos(wt)라 할 수 있습니다. 여기서 진폭(A)를 어떻게 구할 수 있을까요? 힌트는 문제에서 주어진 각진동수 w=2의 조건을 이용하는 것입니다. 다음과 같이 식을 세워볼 수 있습니다.

즉, 머릿속에 다음과 같은 삼각형을 떠올릴 수 있습니다.

여기서 sin(wt)와 cos(wt)를 구할 수 있으므로 이를 x나 v의 식에 대입하여 A를 구할 수 있습니다.

 

2) 유리의 입사각, 굴절각

유리가 입사, 굴절할 때 아래와 같이 삼각형에서 두 각의 합이 90°인 경우 한 각의 sin값은 다른 각의 cos값과 같고, 그 역도 성립합니다. 기본적인 삼각형 및 삼각함수의 성질이므로 알아두시는 것이 좋습니다.

2020 지방직 7급 물리학개론 9번

이 문제에서 임계 상태에서 입사할 때와 반사될 때 식을 각각 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

여기서 θ1+θ2=90°이므로 다음이 성립합니다.

이 때 이전 문제와 마찬가지로 다음과 같은 삼각형을 떠올립니다.

따라서 tanθ1=1/2이고, n은 피타고라스의 정리에 의해 √5/4가 나옵니다.(답 1)

 

3) 힘의 수직 성분 및 수평 성분

아래 문제에서 막대자석의 무게중심에 각각 중력과 자기장에 의한 전자기력이 작용합니다. 토크(돌림힘)의 관점으로 보았을 때, 중력에 의한 토크는 중력의 크기에 sinφ만큼, 전자기력에 의한 토크는 전자기력의 크기에 의해 sin(90°-φ)만큼 곱해지게 됩니다.(플레밍의 왼손 법칙 참조)

2012 국회직 9급 물리학개론 2번

먼저 중력에 의한 토크 τ1과 자기장에 의한 토크 τ2를 다음과 같이 각각 구합니다.

막대 자석이 두 토크에 의해 평형 상태이므로, τ1=τ2입니다. 위 식을 아래 식으로 나누어 다음과 같이 탄젠트를 구할 수 있습니다.

여기서도 마찬가지로 다음과 같은 삼각형을 생각해 볼 수 있습니다.

따라서 답은 1번입니다. 이런 문제들은 거의 삼각형을 이용해야만 풀 수 있을 정도로 식이 복잡합니다. 따라서 앞선 문제들과 같이 sin과 cos가 등장했을 때에는, tan과 그에 따른 삼각형을 떠올려 풀이하는 방법을 연습하는 것이 좋습니다.