【물리학개론】상대론적 에너지 문제의 접근법

상대론적 에너지 문제 접근법

상대론적 에너지 문제들에 대해 들어보셨나요? 기술직 물리학개론 문제에서 심심찮게 출제되는 문제입니다. 이 내용같은 경우는 고등학교 물리나 대학 물리학에서도 잘 다루지 않기 때문에 꽤나 생소한 개념일 수 있어서 저도 공부할 때 애먹었던 부분이기도 합니다. 그러나 기본적인 원리만 이해한다면 그리 어렵지 않은 내용입니다. 다만 계산 과정이나 용어들을 조금 유의해서 보아야 합니다. 기본 공식부터 살펴보겠습니다!

먼저 첫 번째 식부터 설명하겠습니다. 좌변은 입자의 전체 에너지에 해당하며, 이는 물체의 운동 에너지와 정지 에너지의 합과 같습니다. 정지 에너지란 물질이 정지 상태일 때 고유하게 가진 에너지를 의미합니다. 이 개념이 생소하실 수 있는데, 일단 무엇인지만 알고 있으면 됩니다. 또한 오른쪽의 식에 등장하는 감마(γ)는 다음과 같이 계산됩니다.

위 식에서 u는 물질(입자)의 속력, c는 광속을 의미합니다. 참고로 γ의 값은 1보다 무조건 크며, 입자의 속력이 0일 때 1(즉 고전역학과 동일)이고, 입자의 속력이 커질수록 γ의 값 역시 커집니다. 입자의 속력이 광속에 가까워지면 γ의 값은 엄청나게 증가하다가 광속에서 무한대로 발산하게 됩니다. 위 식의 자세한 유도 과정은 생략하겠습니다. 다만 광속에 가깝게 움직이는 물질(입자)가 지니는 에너지량의 형태는 우리가 앞에서 계속 배웠던 고전 역학에서와는 다른 형태로 나타난다는 것을 알고 있으면 됩니다.
두 번째 식은 전체 에너지, 운동량과 광속의 곱, 그리고 정지 에너지가 마치 피타고라스의 정리처럼 제곱하였을 때 합의 형태로 나타난다는 것을 의미합니다. 이 식의 유도 또한 생략하겠습니다. 바로 문제풀이로 들어가보도록 하겠습니다.

2009년 국가직 7급 물리학개론 4번

많은 분들이 위 문제를 처음 보았을 때 잉?하셨을 것입니다. 저도 그랬구요. 하지만 위 두 공식을 알고 있다면 바로 해결할 수 있습니다. 우선 전자의 운동에너지가 4.0MeV로 주어졌고 전자의 질량이 0.5MeV/c²로 주어졌습니다. 전자의 질량을 준 이유는 바로 전자의 정지 에너지를 계산하라는 뜻입니다. 처음의 식을 보면 정지에너지 E0=mc²라는 것을 볼 수 있을 것입니다. 전자의 질량의 단위를 자세히 보면 MeV/c²이므로, 여기에 c²를 곱한 0.5MeV가 그대로 정지 에너지가 됩니다. 또한 두 에너지의 합인 4.5MeV가 전체 에너지가 됩니다.
그렇다면 어떤 것을 구하고자 하는 지를 보아야겠죠? 운동량을 구하라고 했습니다. 아까 처음의 두 식 중 2번째 식에 운동량에 관한 식이 있었습니다. 전체 에너지의 제곱은 (운동량×광속)의 제곱과 정지에너지의 제곱의 합과 같습니다. 이를 계산해보도록 하겠습니다.

그런데 뭔가 이상합니다. 계산이 조금 복잡하지요? 사실 이 문제를 계산해보면 4.5^2=20.25가 되고 0.5^2=0.25가 되어 pc=√20이 되고 운동량은 √20MeV/c가 됩니다. 그런데 선지에는 이 값이 없습니다. 잘 생각해보면 0.25가 20.25에 비해 너무 작은 값이기 때문에 그냥 생략하여 pc=√4.5^2=4.5로 계산된 듯 합니다. 선지 구성을 보면 ①2.0, ②2.5, ③3.0, ④4.5로 굉장히 서로 떨어진 값이기 때문에 가장 가까운 ④4.5를 고르면 됩니다.

2008년 국가직 7급 물리학개론 18번

이 문제도 위와 비슷한 유형입니다. 운동에너지와 정지에너지를 주면서 드브로이 파장을 구하라고 했습니다. 즉 λ=h/p의 관계를 사용하라는 뜻이고, 플랑크 상수가 주어졌으므로 운동량을 구해야 하겠지요? 운동량을 구하려면 2번째 식을 사용해서 구해야 겠네요. 이런 식으로 연결되어 있는 문제입니다. 우선 조건에서 운동에너지는 정지에너지보다 훨씬 크다고 했는데, 이는 정지에너지=0으로 보아도 무방하다는 것이겠지요.

으로 답은 1번이 됩니다.

2020년 서울시 7급 물리학개론 4번

이 문제에서 중요한 것은 바로 처음에 소개해드렸던 γ값을 활용하는 것입니다. 광속과 질량을 이용해서 정지 에너지를 구하고, 이를 전체 에너지에서 빼서 운동에너지를 구한 뒤 운동에너지=(1/2)mv²의 식을 통해 속력을 구하는 방법도 있습니다. 하지만 계산 과정이 너무 오래 걸리게 됩니다. 여기서는 다른 방법으로 접근해 보겠습니다. 전체 에너지는 γmc², 정지 에너지는 mc²이므로 다음과 같이 식을 세울 수 있습니다.

여기서 γ의 값으로부터 속력을 구하기 위한 다음 식을 사용해야 합니다.

γ이 5/3이므로 1-u²/c²는 (3/5)²가 되어야 합니다. u²/c²=16/25가 되어야 하며 따라서 u=0.8c가 되어야 합니다. 답은 4번입니다. 이 문제의 핵심은 입자의 속력을 구하라고 한 데서 γ값을 활용하라는 것을 캐치하는 것이라고 볼 수 있습니다. 위와 같이 상대론적 에너지의 2가지 식, 그리고 γ값의 활용법을 알고 있다면 문제를 쉽게 풀 수 있을 것입니다.