【물리학개론】미분방정식이 나오는 문제 풀이법

미분방정식 for 물리학개론

미분방정식 내용은 원래 나오지 않았기 때문에 따로 다루지 않으려고 했었는데.. 이번 2021 지방직 7급 시험에서 출제가 되어서 이렇게 글을 쓰게 되었습니다. 또한 예전 변리사와 기술고시에서 비슷한 내용이 출제되기도 했구요.

사실 미분방정식이라고 하기엔 미분, 적분의 방법만 알고 있으면 바로 풀 수 있을 정도로 간단하기 때문에 새로 배워야하거나 그럴 필요는 없습니다. 하지만 그 식을 세우는 것이 처음엔 꽤나 어렵게 느껴질 수 있습니다. 오늘은 어떤 상황에서 미분방정식을 풀어야 하는지, 어떻게 식을 세우고 답을 도출해 내는지 기출 문제들을 통해 알아보도록 하겠습니다.

2003 기술고시 물리학개론 5번

이 문제는 미분방정식을 푸는 문제는 아니지만 미분에서 변수에 대한 이해를 위해 가져와 보았습니다. 위 문제에서 가속도를 구하기 위해서는 어떻게 해야 할까요?

여기서 가속도는 v를 미분한 것이므로 우변을 미분하여

라고 생각하여 5번을 고를 수도 있을 것입니다. 하지만 이 풀이는 맞지 않습니다.

왜냐하면 v와 x 모두 t에 대한 함수이기 때문에, 변수 t에 대해서 미분(dv/dt)해야 합니다. 위 식은 x에 대해 미분한 결과(=dv/dx)이기 때문에 맞지 않습니다. 옳은 풀이 방법은 다음과 같습니다.

 

따라서 답은 3번입니다. 혹은 다음과 같이 직접 양변을 t로 바로 미분하여 풀 수도 있습니다.

위 풀이는 직접 양변을 t로 바로 미분하여 그 결과를 dv/dt에 대해 정리한 것입니다. 즉 거리, 속력, 가속도를 미분을 통해 구할 때 x로 미분하지 않고 t로 미분하여 dx/dt나 dv/dt 등을 결과에 포함시켜야 한다는 것을 주의해야 합니다. 이제 본격적인 미분방정식 문제를 풀어 보겠습니다.

2021 지방직 7급 물리학개론 16번

이러한 유형은 기출된 적이 없기 때문에 많이들 어려우셨을 겁니다. 우선 v=A√s라는 관계에 주목해야 합니다. 방금 기술고시 문제에서 보았듯 변위, 속력, 가속도 등은 모두 변수 t에 대한 함수입니다. 따라서 위 식도 t를 이용해 나타낼 수 있어야 합니다. v=ds/dt이므로

와 같이 나타낼 수 있습니다. 이런 형태가 나오면, 각 항이 동일한 변수로 구성되게끔 해야 합니다. 다음과 같이 변형한 후 적분시켜주면 됩니다.

이와같은 미분방정식의 풀이법을 변수분리형(separation of variables)이라고 합니다. 공업수학을 배운 분들은 아마 기억나실 것입니다. 이제 외부에서 물체에 한 일을 구해야 합니다. 이것을 구하는 방법은 두 가지가 있습니다.

1) W=Fs=mas 이용

2) W=E=(1/2)mv² 이용(해준 일은 물체의 에너지로 전환되므로)

두 가지 중 어느 것을 쓰던 동일한 답이 나옵니다. 중요한 것은 변수분리형 미분방정식의 풀이 통해 변위 s, 속력 v, 가속도 a를 각각 시간 t에 대한 함수로 나타내는 것입니다. 미분방정식은 역학 부분에서만 나오지 않을 수 있습니다. 다음과 같이 변리사 물리에서 전자기학 문제에서도 출제된 적이 있습니다.

2015년 변리사 1차 물리 4번

이 문제에서 주목해야 할 것은 금속 막대가 전자기력에 의해 오른쪽으로 운동을 한다는 것입니다.(등가속도 운동이 아님) 뉴턴의 법칙 F=ma, 전자기력 F=Bil, 그리고 전자기유도의 식 V=Blv를 이용해야 합니다.

원활한 계산을 위해 변수 t와 상관없는 상수들을 k로 치환하겠습니다.

위 미분방정식을 다음과 같이 변수분리 해준 후 양변을 적분합니다.

vf=1, vi=3, tf=3, ti=0이므로

으로 답은 5번입니다. 오늘의 내용을 요약하자면 1) 문제를 풀다가 함수(s,v,t)가 특정 변수(t)에 대한 미분방정식 꼴이 나오면 2) 변수분리형 미분방정식의 풀이를 통해 t에 대한 식으로 나타내야 한다는 것입니다.