【기계설계】압력용기 문제 - 모어(Mohr)원으로 완전정복

이번에는 최근 자주 출제되는 압력용기 문제들에 대해 알아보겠습니다. 압력용기 문제는 국가직 9급 기계설계에서 거의 매번 출제되고 있을 만큼 중요한 부분인데요, 7급 문제라 해도 어렵게 느껴질 만큼 난이도가 높다고 생각되는 문제들도 출제되고 있습니다. 오늘은 이러한 유형의 문제들을 저번에 알아보았던 모어(Mohr)원을 이용하여 그 원리를 파악하고 문제를 풀어보겠습니다.

압력용기는 주로 원통 압력용기와 구형 압력용기로 나뉘는데, 우선 원통 압력용기부터 알아보겠습니다. 원통 압력용기의 경우 내부 압력에 의해서 총 세 가지 방향으로 응력이 작용합니다. 첫번째로 원주 방향으로 작용하는 응력(σ_n), 두번째로 길이(축) 방향으로 작용하는 응력(σ_a), 마지막으로 표면에 수직 방향으로 작용하는 응력(σ=p)입니다. 이 때 대부분의 경우에서는 원주 방향 및 길이 방향 응력만 고려하고, 표면에 수직 방향으로는 크기가 작기 때문에 고려하지 않습니다. 먼저 원주 방향의 응력부터 알아보겠습니다.

위 상황에서 원통의 내압과 압력용기의 인장력 간의 정적 힘의 평형 조건에 의해 다음과 같이 식을 세울 수 있습니다.(단, t : 압력용기의 두께, l : 원통의 길이, p : 내압, d : 원통의 내경, r : 원통의 내반경)

다음으로 길이(축) 방향의 응력을 알아보겠습니다.

이제 면내 최대전단응력을 알아보겠습니다. 위에서 구한 두 응력을 각각 주응력 1, 2라 하면 다음과 같이 모어 원을 그릴 수 있습니다.

따라서 평면응력 조건에서의 최대전단응력은 τ=pd/8t 됩니다. 만약 σ₃=0인 3축응력 조건을 가정한다면, 다음과 같이 최대전단응력을 구할 수 있게 됩니다.

즉, 평면응력을 가정하느냐 3축응력을 가정하느냐에 따라 최대전단응력이 달라지게 됩니다.

다음으로 구형 압력용기의 경우에 대해서도 동일하게 힘의 평형 식을 세워보겠습니다. 구형 압력용기의 경우 어느 방향으로 잡든 모든 응력성분이 동일합니다.

원통 압력용기에서 길이방향 응력과 동일한 결과가 나옵니다. 최대전단응력은 다음과 같이 인장응력의 절반으로 구할 수 있습니다.

이제 문제풀이를 시작할 텐데 가장 먼저 비교적 쉬운 유형인 원통 두께 구하기 문제를 알아보겠습니다.

2015년 국가직 7급 기계설계 7번

인장응력에 의한 두께를 구하면 다음과 같습니다.

위 공식은 원주방향 응력에 대한 식을 두께에 대한 식으로 변형한 후, 안전율(S), 이음효율(η), 부식여유(C)를 고려한 형태입니다(안전율과 이음효율이 주어져 있지 않으므로 모두 1로 가정). 중간에 1/100을 곱한 것은 단위변환(mm²/cm²)을 해 준것입니다. 마찬가지로 전단응력에 의한 두께를 구하면 다음과 같습니다.

따라서 원통압력용기의 두께는 2mm가 나옵니다. 따라서 외경은 내경보다 두께의 2배인 4mm만큼 커야하고, 내경이 20±0.5mm이므로 외경은 24.5mm보다 커야합니다. 따라서 답은 25mm, 4번이 됩니다.

2019년 국가직 9번 기계설계 16번

이 문제는 기본적인 공식만 알고 있으면 바로 풀 수 있습니다.

2016년 국가직 9급 기계설계 20번

최대 전단응력을 구하는 문제인데, 문제 조건을 보면 평면응력을 가정했으므로 τ=pd/8t가 됩니다. 만약 3축응력을 가정했다면 pd/4t가 되었을 것입니다.

2017년 지방직 9급 추가채용 기계설계 20번

이 문제의 경우 식을 두께(t)가 아닌 바깥지름과 안지름의 차(D₂-D₁)로 나타내어야 하는 상황으로 다음과 같이 응력상황을 식을 직접 유도할 수 있어야 합니다.

으로 답은 1번이 됩니다.

2020년 국가직 9급 기계설계 9번

이 문제의 경우 지금까지와 다른 형태를 보입니다. 축방향 압축하중 F를 가했다고 나오기 때문에 축방향 응력을 다시 계산해주어야 합니다. 기존에 축방향 인장응력 pr/2t가 작용하고 있었고, 압축하중 F가 단면적(2πrt)에 그 반대방향으로 작용하고 있으므로 다음과 같이 모어 원이 그려집니다. (응력상태에 대한 언급이 없으므로 평면응력 상황으로 가정합니다.)

τ_max=τ_a이 되도록 하고, 위 식을 t에 대해 정리하면

으로 답은 4번이 나오게 됩니다.

2021년 국가직 9급 기계설계 17번 

이 문제 역시 위에서 다루었던 일반적인 상황과 조금 다른 모양입니다. 바로 안쪽 표면에서 압력 p가 작용하는 3축응력 상황입니다. 원주방향 응력과 길이방향 응력이 인장응력인데 반해 내압 p는 압력용기를 압축하는 방향으로 작용하므로 음의 부호(σ₃=-p)를 가집니다. 구형 압력용기이므로 주응력 σ₁과 σ₂ 모두 pr/2t이고, 이를 모어원으로 그리면 다음과 같습니다.

따라서 최대전단응력은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

으로 답은 2번이 나옵니다.

마지막 두 개의 문제는 새로운 유형이었기 때문에 현장에서 풀기 어려웠을 것이라고 생각합니다. 두 문제 각각 20년, 21년에 출제된 만큼 앞으로도 압력용기 부분에서 고난도로 출제될 수 있다고 예상할 수 있습니다. 모어 원에서 어떤 식으로 응력 성분이 변화하는지, 또 평면응력 상황을 가정하는지 또는 3축응력 상황을 가정하는지 등을 잘 살펴 비슷한 유형의 문제가 나왔을 때 대비할 수 있어야 할 것입니다.