최근으로 갈수록 기계설계 과목에서 어렵게 나오는 문제들이 바로 파손이론 관련 문제들입니다. 파손이론 문제들은 그 자체로도 난이도가 있고 다른 기계요소들(축, 압력용기 등)과 결합되어 나오면 킬러 문제라고 할 수 있을만큼 어렵게 나오기도 합니다. 오늘은 이러한 파손이론 관련 문제들을 접했을 때 어떻게 대처해야 하는 지에 대해 알아보겠습니다.
2012 국가직 7급 기계설계 17번
이러한 유형은 한번밖에 나오지 않았기도 하고 그렇게 복잡하진 않지만 제 나름대로 빠르게 해결했던 방법을 공유해 보겠습니다. 정석적인 풀이는 아래의 굿맨선(Goodman line)에 σ_e=300MPa와 σ_u=900MPa를 대입하고 선지의 평균응력과 응력진폭을 각각 σ_a, σ_m의 자리에 넣어 나오는 값을 비교하는 것입니다.
하지만 이 문제에서는 파손될 가능성이 가장 높은 것만 구하면 되므로, 상대적인 비교만 하면 됩니다. 다음과 같이 평균응력의 값에 응력진폭을 3배한 값을 더한 후 비교하면 됩니다. 나눗셈보다는 곱셈이 더 빠르게 계산할 수 있기 때문입니다.
① 340+450=790
② 420+390=810
③ 580+360=940
④ 600+240=840
따라서 답은 3번이 됩니다.
이제 본격적인 파손이론 문제로 들어가 보겠습니다. 우선 다음과 같은 식들을 모두 숙지하고 있어야 할 것입니다.
2017 서울시 9급 기계설계 19번
최근 고난이도로 나오는 유형이 바로 위와 같이 파손이론에 관한 식을 문자로 나타낸 후 옳게 나타낸 선지를 고르는 문제입니다. 이러한 문제를 풀 때는 선지 소거법이 기본이 되어야 합니다. 이 문제를 정석대로 계산하기에는 시간이 너무 오래 걸리고, 가성비가 너무 낮습니다. 어차피 시험 상황에서는 두뇌회전도 잘 안되기 때문에 제대로 계산하지도 못할 확률이 높습니다. 따라서 최대한 정답에 가까워 보이는 선지를 찍고 넘어가는것이 우선이라는 마음가짐으로 풀어야 합니다.
문제 조건을 보면 전단변형에너지설(Von Mises응력)을 가정하고 있습니다. σ=M/Z이고 τ=T/Zp로 나타낼 수 있습니다(Z는 단면계수, Zp는 극단면계수). 단면계수(Z=πd³/32)의 역수가 그대로 제곱근 밖으로 나와 있으므로 선지 ③,④는 소거됩니다. 선지 ①,②의 차이는 각각 T²에 3/2와 3/4가 곱해져 있다는 것입니다. 극단면계수(Zp=πd³/16)가 단면계수 Z의 2배이고 이것이 제곱되어 4배가 되었으며, 역수를 취하면 1/4배가 됩니다. 최종적으로 Von Mises응력식에서 τ²의 계수 3과 곱해져 3/4가 된다고 생각할 수 있습니다. 따라서 답은 2번이 됩니다.
원래 이러한 유형은 서울시에서 자주 나왔는데, 올해 국가직 7급에서 이러한 문제가 출제되었습니다!
2021 국가직 7급 기계설계 10번
이 문제도 깊이 생각하지 말고 선지 소거법으로 빠르게 찍고 넘어가야 합니다. 문제에서 축에 모멘트 M, T가 작용하고 있고 전단변형에너지설이 조건으로 주어졌으므로, Von Mises 응력식을 떠올려야 합니다. 각 선지의 분모에 있는 제곱근을 보면 ②, ③은 Guest의 최대전단응력설, ④는 Rankine의 최대주응력설과 비슷한 꼴입니다. 따라서 ①번이 답이 됩니다.
2020 서울시 7급 기계설계 7번
선지를 보면 단면계수 Z=πd³/32에 관한 식을 d에 대해 정리한 것임을 알 수 있습니다. 따라서 ②, ④ 선지는 소거됩니다. ①, ③ 선지의 경우 (T/σy)²에 곱해진 계수의 차이를 볼 수 있습니다. 문제에서 전단변형에너지를 언급했으므로 σ_{VM}=√(σ²+3τ²)의 식이 문제풀이에 사용될 것이며 따라서 3이 존재하는 ③이 정답이 됩니다.
조금 더 깊이 생각해본다면, 이 문제는 ASME 선도를 사용하므로 σ_a(반복하중)와 σ_m(평균하중)을 각각 계산해야 합니다. 그런데 완전 역전 굽힘 모멘트(=-M에서 +M까지 변하는 모멘트)이므로 모멘트 M은 반복하중에만 영향을 미치고, 일정한 토크가 가해지므로 토크 T가 평균하중에만 영향을 미칩니다.
따라서 반복하중에 대한 Von Mises응력은 다음과 같습니다.
평균하중에 대한 Von Mises응력은 다음과 같습니다.
따라서 최종 ASME 선도에는 T²에 3/4가 곱해진 형태로 계산될 것이라고 생각할 수 있습니다.('17년 서울시 9급 19번 참고)
물론 오늘과 같은 풀이는 정확성은 떨어지지만 사실상 시험장에서 풀 수 없는 문제들이기 때문에 가장 높은 확률의 선지를 판단하여 찍고 넘어가는 것이 최선의 전략입니다. 또한 정석적인 풀이 방법을 알아놓는다면 더 잘 찍을 수 있기 때문에 한 번씩 제대로 풀어보시는 것도 추천합니다.
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