【기계설계】모어(Mohr) 원을 이용한 응력문제풀이

모어 원(Mohr's circle)에 대해 들어보셨을 겁니다. 기계설계 과목에서도 여러 평면응력/3차원응력 문제들이 출제되는데요, 거의 모든 문제는 모어 원을 통해 풀 수 있다고 보시면 됩니다. 이 모어 원은 응력에 관한 공식들로부터 만들어진 개념인데, 공식을 암기할 필요를 전혀 없게 만들어주는 훌륭한 도구입니다.

문제를 통해 모어 원을 어떻게 그리는 지에 대해 알아보겠습니다.

2018년 국가직 9급 기계설계 4번

먼저, 모어 원은 x축이 인장/압축응력(통상적으로 (+)부호는 인장응력, (-)부호는 압축응력으로 정합니다.)의 크기를, y축이 전단응력의 크기를 나타내는 좌표평면 상에 그립니다. 응력이 가해질 때 x축상에 중심이 위치하도록 모어원을 그리고, 그 원과 x축이 접하는 두 지점이 각각 주응력 σ₁, σ₂가 되도록 합니다. 위 문제 상황의 경우 전단응력이 가해지지 않는 순수 인장/압축 상태이므로 인장/압축응력 σ_x, σ_y가 각각 주응력 σ₁, σ₂가 됩니다. 따라서 다음과 같이 그릴 수 있습니다.

응력의 방향이 변화함에 따라 원 위의 좌표를 따라 움직이면서 응력상태가 결정됩니다. 따라서 위 상태에서 가질 수 있는 최대 전단응력은 원의 반지름, 즉 (120-(-80))/2=100MPa가 됨을 알 수 있습니다. 인장항복응력이 400MPa이고 최대전단응력설에 따르면 전단항복응력은 인장항복응력의 절반이므로 기준강도는 200MPa가 됩니다. 따라서 안전계수 S=200/100=2가 되어 답은 4번이 나옵니다.

2013년 국가직 7급 기계설계 13번

위 문제상황에서는 아까와 달리 전단응력이 0이 아닙니다. 따라서 다음과 같이 점(100,30)과 점(20,30)을 지나도록 모어 원을 그려야 합니다.

최대전단응력설에 의한 안전계수를 구해야 하므로 아까와 마찬가지로 최대전단응력을 구해야 합니다. 먼저 원의 중심점은 20과 100의 중간점인 60MPa가 됩니다. 또한 피타고라스의 정리를 이용하여 아래와 같이 원의 반지름(=면내 최대전단응력)을 구할 수 있습니다.

파단전단강도는 파단인장강도의 0.5배이므로 150/2=75MPa입니다. 따라서 안전계수는 다음과 같습니다.

이렇게 응력좌표 상에서 모어 원만 잘 그릴 수 있다면 쉽게 해결할 수 있는 문제입니다.

2013년 국가직 7급 기계설계 18번

위 문제의 경우 각도에 관해 물어보았는데요, 다음 법칙만 숙지하고 있으면 됩니다.

"실제 이동한 각도×2=모어원 상에서 이동한 각도"

우선 모어 원을 그려보도록 하겠습니다. 그리는 방식은 이전과 동일합니다.

처음에 주응력은 모어 원과 x축의 교점에 위치한다고 했습니다. 위 그림에 따르면 주응력 방향을 찾기 위해서는 모어 원 상의 점에서 각 φ만큼 이동시켜 주어야 합니다. 그렇다면 실제 xy축상에서 회전시켜야 하는 각도 θ는 모어원 상의 각도 φ의 1/2만큼이므로 다음과 같이 구할 수 있습니다.

따라서 답은 3번이 됩니다! 이렇듯 평면응력 상에서 모어 원은 하나만 그리면 됩니다. 하지만 2020년 서울시에서 새로운 유형의 문제가 출제되었습니다.

2020 서울시 7급 기계설계 6번

지금까지 우리는 2차원(평면)응력 상황을 다루었는데, 위와 같은 3차원 응력의 문제는 2020년에 처음 출제되었습니다. 먼저 xy평면에 대한 모어 원을 다음과 같이 그려줍니다.

여기서 주응력 σ₁=120MPa, σ₂=20MPa를 구할 수 있습니다. 문제 조건을 보면, xy평면상의 평면응력 상태에 단순히 z축 방향의 압축응력이 추가된 것을 볼 수 있습니다. 따라서 z축방향의 압축응력 σ_z 곧 주응력 σ₃으로 볼 수 있습니다.(τ_yz와 τ_zx가 0이기 때문에 σ_z=σ₃이 되는 것입니다. 만약 τ_yz 또는 τ_zx가 0이 아닌 경우라면 별도의 계산이 필요하나 계산의 복잡성 때문에 출제가능성은 거의 없다고 봅니다.) 3개의 주응력으로 모어 원을 그려 주면 다음과 같습니다.

 

처음 3개의 문제들은 모두 평면응력 상태를 가정한 문제들이었습니다. 만약 3축응력을 가정했다면 σ₃=0이라는 주응력을 추가하여 위와 같이 총 3개의 모어원을 그려주어야 하지만, 문제 조건에서 평면응력을 가정했으므로 따로 그리지 않은 것입니다. 이 문제의 경우 3차원 응력상황을 가정했으므로 새로운 주응력 σ₃을 고려해주어 위와 같이 3개의 모어원을 그려준 것입니다. 그림에서 볼 수 있듯 τ_max=70MPa가 나와 답은 4번이 됩니다.

문제 조건을 보고 평면응력 상태 또는 3축응력 상태를 구분하는 것은 다음에 다룰 압축용기에서의 응력상황에서도 중요하니 꼭 알아두시기 바랍니다.