【물리학개론】단진자 최저점에서의 장력

오늘은 단진자 문제들에 대해 다뤄보겠습니다! 단진자 문제의 경우 ①힘과 에너지의 관점에서 묻는 문제 그리고 ②주기, 진동수에 관해 묻는 문제들이 있습니다. 후자의 경우 그리 어렵지 않으므로 쉽게 해결할 수 있을 것입니다. 오늘 다뤄보고자 하는 것은, 단진자와 장력의 관계에 대한 것입니다. 우선 단진자 운동의 자유물체도를 그리면 다음과 같습니다.

위 그림은 단진자가 최고점에 이르렀을 때, 즉 속력이 0인 때를 기준으로 그린 것입니다. 단진자가 아래로 운동함에 따라 점점 속력을 얻게 되고, 이것이 구심력의 형태로 나타나 장력이 커지게 됩니다. 따라서 다음과 같이 장력을 표현할 수 있습니다.

이렇게 되어 단진자가 최저점에 이르렀을 때 cosθ와 속력 v 모두 최대가 되어 장력이 최대가 됩니다. 일반적으로 단진자의 장력을 묻는 문제에서는 최고점에서 단진자의 높이나 각도 θ 등이 주어지고, 특정 지점에서의 속력이나 장력 등을 묻는 경우가 많습니다. 이 경우 감소한 높이를 통해 위치에너지의 감소량을 구하고, 이는 곧 운동에너지의 증가량과 같으므로 속력을 구할 수 있게 되며 이를 통해 장력을 구할 수 있게 됩니다. 이 방법이 정석 풀이이지만, 여기서는 단진자 운동의 최고점과 최저점이 조건으로 주어졌을 때 장력을 바로 구할 수 있는 방법을 알아보겠습니다.

물체가 최저점일 때를 기준으로 최고점일 때의 단진자의 높이를 h라 하면, 이 때의 중력퍼텐셜에너지 mgh는 최저점에서 운동에너지로 완전히 변환됩니다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같습니다.

이때 h=L(1-cosθ)이므로

위 식 우변의 mv²를 이용해 장력을 나타내 봅시다.

위와 같이 정리가 됩니다. 문제에서 최고점이 주어지고 최저점에서의 장력을 물을 때, 에너지 보존을 쓸 필요 없이 위 식만 써주면 바로 풀 수 있다는 것입니다!

2020 서울시 연구사 물리학개론 11번

위 상황에서 cosθ는 0.8입니다. 따라서 최대 장력 T=mg(3-2cosθ)=10(3-1.6)=14로 답은 1번입니다. 간단하죠?

2011 국가직 7급 물리학개론 15번

cosθ=1/2인 것을 바로 알 수 있죠. 따라서 답은 10(3-1)=20으로 3번입니다.

2016 서울시 7급 물리학개론 1번

이 문제는 cosθ가 0인 경우로 볼 수 있습니다. 따라서 답은 mg(3-0)=3mg로 3번입니다. 다음은 올해 지방직 문제입니다!

2021 지방직 7급 물리학개론 19번

최고점에서 장력이 0.6mg이고 이는 T=mgcosθ이므로 cosθ=0.6입니다. 따라서 장력은 mg(3-1.2)=1.8mg로 답은 3번입니다.

다시 한번 말씀드리지만 최고점이 주어졌을 때 최저점에서의 장력을 구할 때만 유효한 식입니다(지금까지 이런 경우 이외로 출제된 적은 없었습니다.) 아직 출제된 적은 없지만, 최고점으로부터 높이에 따른 장력 T를 일반화해서 식으로 나타내 볼 수도 있습니다. 다음과 같이 최고점에서 높이 h만큼 떨어져 각변위가 φ로 된 상황을 가정해 봅시다.

에너지 보존의 식부터 살펴봅시다.

또한 위의 그림에서 다음 길이 관계가 성립합니다.

위 두 식을 이용해 아래의 장력 식을 정리해보면 다음과 같습니다.

다음 상황에서 A가 최고점일 때 B점에서의 장력을 구해봅시다.(줄의 길이는 1m로 가정)