【물리학개론】천체역학 문제 접근법

천체역학 문제는 매년 1~2문제씩 출제되는 역학의 핵심 파트입니다. 이들 역시 용수철과 마찬가지로 그렇게 어렵게 출제되지는 않았으나, 어렵게 내라면 낼 수 있을 만큼 깊이가 있는 분야기 때문에 한번 분석해보면 좋을것 같아 글을 쓰게 되었습니다.

천체역학 문제는 다음의 네 가지 식으로 모두 해결할 수 있습니다.

 

1) 에너지 식

2) 각운동량 보존

3) 만유인력=구심력

4) 케플러 제3법칙

1)에서 탈출 속도와 3)에서 중력가속도에 대한 식이 다음과 같이 파생되어 나옵니다.

천체역학의 문제들은 어떤 상황에서 위 식들을 적절히 조합하여 사용할 것인지가 중요합니다. 대부분의 천체역학 문제들은 상황이 비교적 간단히 주어지고, 어떤 식을 써야 하는지도 명확하게 주어지며, 무엇보다 식을 하나만 사용해서 풀 수 있게끔 주어집니다. 그러나, 가끔씩 두 가지 이상의 식을 써야 풀 수 있는 문제들이 나오는데, 이런 문제들은 처음 맞닥뜨렸을 때 아주 난해할 수 있습니다. 어떤 식을 써야 하는지 헷갈리기도 하고, 잘못된 식을 썼다간 문제풀이가 안드로메다로 가버릴 수 있기 때문입니다.

이러한 문제들의 경우 문제를 잘 읽다보면 힌트를 발견할 수 있습니다. 우리가 확인해야 할 것은 1)궤도 조건과 2)제 3의 대상 여부입니다.

i)궤도 조건

천체역학의 문제들은, 대부분 작은 물체(또는 인공위성, 작은 행성)가 행성(또는 태양) 주위의 원형 궤도를 돌거나 타원형 궤도를 돌거나 하는 등의 가정을 포함하고 있습니다. 이것이 중요한 이유는 만유인력=구심력 식과 케플러 3법칙 식은 원형 궤도를 가정해야만 사용할 수 있기 때문입니다. 따라서 조건에 '타원형 궤도'라는 조건이 있거나 궤도에 관한 조건이 아예 없다면, 사용해야 하는 식의 범위는 에너지 보존과 각운동량 보존으로 한정됩니다. 이 둘은 어떤 가정도 필요없는 보편적인 법칙이기 때문입니다. 특히, 타원형 궤도 조건을 주었다면 각운동량 보존을 써야 할 확률이 높습니다.

반대로 원형 궤도의 가정을 주었다면, 만유인력=구심력 식과 케플러 3법칙 식 중 적어도 하나를 쓰게 하기 위해 만든 조건이겠지요? 출제자는 쓸데없는 조건을 덧붙이지 않는다는 것을 이용해야 합니다. 대부분의 문제들은 원형 궤도를 가정하므로 그렇지 않은 문제들을 보겠습니다.

2020 국가직 7급 물리학개론 8번

위 문제는 타원 궤도를 가정하므로 에너지 보존과 각운동량 보존 중 하나를 써야 합니다. 각운동량 보존에 의해, 속력이 v인 지점에 비해 속력이 2v인 지점에서는 반대로 거리가 절반으로 줄었을 것입니다. 위의 중력가속도 식에서 중력은 거리의 제곱에 반비례하므로 중력의 크기는 4배로 증가했을 것이므로 답은 4번입니다.

2015년 기상직 7급 물리학개론 8번

위 문제는 각운동량 보존과 에너지 보존을 모두 써야 합니다. 우선 각운동량 보존에 의해 원일점에서 속도는 v/2가 됩니다. 이를 토대로 에너지 보존 식을 세우면,

답은 3번이 나오게 됩니다. 요약하면, 에너지 보존 식은 기본으로 깔고 ①문제에서 원형 궤도를 가정하고 있다면 만유인력=구심력or케플러 3법칙 공식을, ②타원형 궤도를 가정하고 있다면 각운동량 보존을 우선적으로 활용할 생각을 하자는 것입니다.

ii) 제3의 대상

제 3의 대상을 집어넣어서 문제를 어렵게 만드는 경우도 있습니다.

2017년 국가직 7급 물리학개론 16번

행성 표면에서 물체가 받는 힘의 크기를 구하라고 했으므로 만유인력 식(또는 중력가속도 식)을 떠올려야 합니다.

여기서 m(물체의 질량)과 R(행성 반지름)의 값은 각각 1kg와 100km이므로 알 수 있지만, G와 M의 값은 알 수 없습니다. 위성의 등속 원운동에서 조건을 더 끌어내 볼 수 있습니다. 등속 원운동 중이므로 만유인력=구심력 식(또는 공전 속도)을 떠올려야 합니다. 

이 식에서 m(위성의 질량)은 소거되고 v는 1km/s, R(공전 반지름)은 1000km이므로, GM의 값을 구할 수 있습니다. 이를 앞의 식에 대입하여 물체가 받는 힘을 구할 수 있습니다. 'GM'을 매개로 하여 식을 연결한 것입니다. 참고로 답은 2번 100N입니다.

2002 기술고시 물리학개론 6번

위 문제는 제가 본 천체역학 문제들 중에서 가장 까다롭다고 할 수 있는 문제입니다. 우선 길이가 L인 진자의 단진동 주기는 다음과 같습니다.

g에 중력가속도 식을 대입한 모습입니다 여기서 R은 알 수 있지만 GM은 알 수 없습니다. 이 때, 선지에 위성의 공전 주기 T가 포함되어 있다는 점에 주목해야 합니다. 여기서 우리는 위성에 대한 케플러 3법칙 식이 필요합니다.

위 식에도 GM이 포함되어 있으므로, GM에 대해 정리한 후 첫번째 식에 대입하면 원하는 답이 나올 것입니다.

으로 답은 2번입니다. 이 문제 역시 GM을 매개로 두 가지의 식을 정리하는 문제입니다. 요약하면, 문제에서 공전 중심 행성과 공전하는 물체 이외에 제 3의 대상이 등장하면 GM을 매개로 하여 식을 정리해야 한다는 것입니다.