【물리학개론】도르래와 관성저항

오늘은 역학에서 빠질 수 없는 도르래에 대해서 다뤄보려고 합니다. 문제에 도르래가 나올 때 도르래의 질량(관성모멘트)를 고려하느냐 하지 않느냐의 여부로 풀이 방식이 달라집니다. 전자의 경우 도르래는 단순히 힘을 분배해주는 역할만 할 뿐입니다. 다음의 예를 통해 풀어보겠습니다.

1) 도르래의 질량(관성모멘트)을 고려하지 않을 때

2017 국가직 7급 물리학개론 8번

여기서 F가 가해지면 도르래의 양쪽에 F/2만큼 힘이 균등하게 분배됩니다. 벽돌 B가 들어올려질 때의 장력은 B에 작용하는 중력인 100N보다 커야 하므로, F가 200N이 되어야 합니다. 따라서 답은 4번입니다.

 

2) 도르래의 질량(관성모멘트)을 고려할 때

이제 도르래의 질량(관성모멘트)을 고려할 때로 넘어가 보겠습니다. 보통 이러한 경우에는 i)일반적인 운동 방정식, 그리고 ii)모멘트 방정식 두 가지를 연립하여 풀어야 합니다. 하지만 이는 번거롭기도 하고 평소에는 모멘트 방정식을 잘 쓰지 않다보니 헷갈리기도 합니다. 그래서 제가 고안해낸 방식이 도르래를 '관성저항'의 관점으로 보는 것입니다.(제가 임의로 정한 용어일 뿐 공식적인 개념은 아닙니다.) 이렇게 하면 일반적인 운동 방정식만으로도 풀 수 있습니다.

반경이 r이고 ,질량이 m, 관성모멘트가 I인 어떤 물체(ex.도르래)에 토크 T가 작용한다고 가정합니다. 물체는 각가속도 α로 회전하게 됩니다. 이 상황은 물체의 무게중심으로부터 r만큼 떨어진 곳에 힘 F를 가해 모멘트 M을 작용시킨 것과 등가로 볼 수 있으며 다음 식으로 나타낼 수 있습니다.

이 때 물체의 관성 모멘트를 kmr²라고 하면, 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.(k는물체의 형상에 따른 값)

여기서 F/a꼴로 나타낸 것은, 우리가 알고 있는 식 F=ma에서 질량을 '관성 저항'의 관점으로 보면 F/a=m으로 나타낼 수 있기 때문입니다. 즉 위 식은 도르래와 같은 회전체가 회전하게 된다면, 이는 질량이 km인 물체가 외부와 같은 가속도로 움직이는 것과 등가로 볼 수 있다는 것입니다. 여기서 중요한 점은 물체의 반경은 물체에 가해지는 토크의 회전 중심점으로부터 거리와 같아야만 성립한다는 것입니다. 보통 도르래의 경우 이것이 성립하기 때문에 유용하게 쓸 수 있는 개념입니다. 쉽게 말해 아래의 왼쪽 상황에서만 성립하고 오른쪽 상황에서는 쓸 수 없다는 것입니다.

이것을 이용해 문제를 풀어 보도록 하겠습니다.

2020 서울시 7급 물리학개론 14번

그림에서 보듯 도르래 끝에 실이 달려있으므로 사용 가능합니다. 보통 도르래는 원통 형상이며 이 때 관성모멘트는 1/2mr²입니다. 즉 관성저항은 m/2이고 여기서는 1kg(=2kg/2)입니다. 그렇다면 위 문제는, 1kg인 물체 2개가 매달려 있는 것으로 생각해도 무방하다는 것입니다. 10N의 중력이 총 2kg에 작용하므로 가속도는 5m/s²이고, 힘의 평형을 고려하면 장력이 5N이 된다는 것은 쉽게 알 수 있습니다. 즉 아래 그림과 같은 상황입니다.

다음 문제도 풀어봅시다.

2011 지방직 7급 물리학개론 8번

도르래의 관성 모멘트가 mR²이므로, 가운데의 도르래를 질량(관성저항)이 m인 물체로 생각하면, 쉽게 문제 상황이 그려질 것입니다.

알짜힘은 2mg, 전체 물체의 가속도는 0.4g이며, 장력차에 의해 가운데 물체가 움직이므로 장력차이는 0.4mg입니다. (T1=1.8mg, T2=1.4mg)

2002 기술고시 물리학개론 36번

도르래의 관성저항은 M/2입니다. (m+M/2)a=mg에서 a=mg/(m+M/2)로 답은 1번입니다.

2004 기술고시 물리학개론 22번

위 문제도 결국 동일한 원리입니다. 균질한 원판형 도르래라는 것에서 관성저항이 M/2임을 알 수 있습니다. 이러한 계에서 각진동수는 다음과 같이 표현됩니다.

위 식에서 m 대신 m+M/2를 넣으면 다음과 같고, 답은 2번입니다.