【물리학개론】축전기 옮기기 문제 접근법(feat.문제오류?)

물리학개론에서 축전기에 대한 문제는 두 가지 유형으로 나눌 수 있습니다. i)전기용량 바꾸기 ii)회로에서 축전기 옮기기. 전자의 경우 전기용량의 직렬/병렬 공식을 이용해 풀면 어렵지 않을 것입니다. 오늘은 후자의 축전기 옮기기 문제풀이를 어떻게 접근해야 하는 지에 대해 알아보겠습니다. 우선 문제부터 풀어봅시다!

2006 기술고시 물리학개론 40번

우선 바꾸기 전 총전하량은 다음과 같습니다.

축전기 C1과 C2를 병렬로 연결했으므로 옮긴 후 총 전하량은 다음과 같습니다.

이 때 축전기를 옮겨도 총 전하량은 일정합니다. 따라서 새로운 전위차 E를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

따라서 답은 1번입니다. 여기서 중요한 것은 축전기를 옮겨 끼더라도 총전하량이 보존된다는 것입니다. 다음 문제를 풀어봅시다.

2010 지방직 7급 물리학개론 8번

그런데 의문점이 하나 생깁니다. 옮겨낀 후 A와 B는 직렬 연결일까요 아니면 병렬 연결일까요? 직렬 연결이라면 전하량 동일 조건으로, 병렬 연결이라면 전위차 동일 조건으로 풀어야 하므로 답이 달라질 것입니다. 정답부터 말씀드리면 직렬도 병렬도 아니지만, 전위차 동일 조건으로 풀어야 한다는 것입니다. 왜 그런지 꼭 이해할 필요는 없지만 설명드리겠습니다. 위와 같은 상황을 간략히 그려 보겠습니다.

원래 직렬, 병렬을 따지기 위해서는 전지가 필요합니다. 전지가 회로상에 있다면 직렬, 위아래로 걸려 있다면 병렬이 되겠지요. 따라서 직렬 병렬을 따지기는 어렵습니다. 그렇다면 왜 A,B의 전위차가 동일한 것으로 보고 풀어야 할까요? 그 이유는 문제 조건에 있습니다. '충분한 시간이 지난 후'라고 되어 있죠. 이것은 전기적 평형을 이루었다는 뜻이고, 전하의 이동이 없다는 것입니다. 만약 전위차가 존재한다면 전하의 이동(전류)가 있을 것이기 때문에 전기적 평형 상태가 아니라는 것을 뜻합니다. 따라서 A,B의 전위차가 동일하다고 보아야 합니다.

A,B가 직렬이 아니더라도 어쨌든 직렬의 형태이므로 A,B의 전하량이 같아야 하지 않느냐 하는 의문이 들 수도 있습니다. A,B가 전지와 직렬 연결 되어있다면 A,B의 전하량이 같아야 하는 것은 맞습니다. 하지만 그것은 원래 전위차가 존재하지 않았고 총전하량의 합이 0인 A,B에서 전위차가 생겼을 때 각 기판에서 동일한 양의 양/음전하가 이동하므로 성립하는 것입니다. 그런데 이 문제에서는 이미 A에 전하량이 충전된 상태였으므로, 동일한 양의 양/음전하가 있을 필요가 없습니다. 따라서 A,B의 전하량이 동일할 필요도 없습니다.

그렇다면 A,B의 전위차가 동일하다는 조건으로 풀어보겠습니다. 옮겨끼기 전 총전하량은

입니다. 옮긴 후 총전하량은 일정하고 A,B의 전위차가 같으므로

여기서 C1, C2가 각각 1,2이므로 V는 2고 B에 충전된 전하량은 4입니다. 따라서 답은 3번입니다. 비슷한 문제가 변리사 시험에도 출제되었습니다.

2016 변리사 1차 4번

우선 B+C의 등가 전기용량을 구하면 C0/2입니다. a에 연결되어 있을 때 총전하량은 C0V0고 이는 b에 연결했을 때에도 보존됩니다. 또한 이전 문제와 마찬가지로 A와 B+C의 전위차는 동일합니다. 이를 식으로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

따라서 답은 3번입니다. 참고로 이 문제에서는 충분한 시간이 지났다거나 전기적 평형을 이루었다거나 하는 조건은 없지만 통상적으로 전기적 평형을 이루었을 때의 전하량을 구하는 것으로 보아야 할 것입니다. 위 문제들의 풀이 과정을 일반화하면 다음과 같습니다.

i) 총전하량 보존

ii) 구하고자 하는 부분과 나머지 부분의 전위차가 동일

2014 서울시 7급 물리학개론 15번

이 문제는 서울시에서 출제된 문제인데, 사실 모순되는 소지가 있습니다. (b)에서 전지가 연결된 회로이냐 아니냐가 명확하지 않습니다. '전압이 200V가 되었다'라는 표현을 통해 전지가 연결되어있지 않다고 가정해보겠습니다. (a)에서 총전하량은 200이고, (b)에서 축전기가 직렬 연결되어 있으므로 구하고자 하는 값을 x라 하면 등가 전기용량은 다음과 같습니다.

이를 풀면 x=2가 나옵니다. 그런데 여기서 총전하량을 계산해보면 400이 나오기 때문에 모순입니다. 그렇다면 전지가 연결되었다고 보고 풀어보겠습니다. 기존의 충전기에 걸린 전위차를 V라고 하면 C2의 전위차는 200-V가 될 것입니다. 직렬 연결이므로 전하량이 같을 것이고 이를 식으로 나타내면 다음과 같습니다.

여기서 V=100으로 보고 대입하면 x=2가 나옵니다. 그런데 전지가 연결되면 전위차가 보존된다는 보장이 없기 때문에  (a)에서 V=100이라는 조건이 의미가 없고, 주더라도 옮긴 후에 주어야 합니다.