【물리학개론】용수철 문제에 대한 접근법

오늘은 물리학의 용수철 문제에 대해 다뤄보고자 합니다. 용수철 문제는 그렇게 어렵게 출제되지는 않지만, 헷갈릴 수 있는 부분이 있어 짚고 넘어가려 합니다. 일반적으로 용수철 문제는 다음과 같은 네 가지의 관점을 통해 보면 모두 해결할 수 있습니다.

1) 주기, 진동수 등 관련(damping이 없을 때)

2) 변위, 속도, 가속도 관련

3) 복원력, 용수철 상수 관련

(각각 직렬, 병렬)

4) 에너지, 변위, 속력 관련

하지만 문제들마다 어떤 관점에서 보아야 하는지가 다르기 때문에, 잘못된 관점을 사용하면 함정에 빠지게 되고 쉬운 문제인데도 풀지 못하는 경우가 있을 수 있습니다. 다음 문제를 봅시다.

2003 기술고시 물리학개론 14번

위 문제에서 변위와 속력이 주어졌고 진폭을 구하라고 했기 때문에 4)의 방법이 떠오를 것입니다. 하지만 용수철 상수와 질량 등이 주어지지 않았으므로 4)의 방법으로는 풀 수 없습니다. 그렇다면 어떻게 해야 할까요? 문제 처음의 각진동수 2 rad/s라는 조건에서 힌트를 얻을 수 있습니다. 변위는 Asin(wt), 속력은 Awcos(wt)이므로 변위를 속력으로 나누면 (1/w)tan(wt)가 됩니다. 이를 통해 tan(wt)를 얻을수 있으므로 sin(wt), cos(wt)를 구할 수 있고, A를 구할 수 있게 됩니다.

따라서 답은 3번입니다.

이번에는 4)의 방법으로 풀 때 주기와 변위, 속력의 관계성에 대한 것입니다. 다음 문제를 봅시다.

2010 국가직 7급 물리학개론 17번

변위가 진폭의 1/2일 때, 위치에너지는 최대일 때에 비해 1/4가 되고, 운동에너지는 1-1/4=3/4가 됩니다. 따라서 K/E=는 3/4가 됩니다. 참고로 이 때 속력은 √3/2이 됩니다. 이와 비슷한 문제가 서울시에서도 출제되었습니다.

2015 서울시 7급 물리학개론 5번

용수철 운동의 주기를 T라 하면, 물체의 운동에너지와 위치에너지가 같아지는 시간은 물체의 변위와 속력이 각각 최대치의 1/√2일때여야 하고, 그래야 각각을 제곱했을 때 최대치의 1/2가 나오기 때문입니다. 이에 해당하는 주기는 T/8, 3T/8, 5T/8, 7T/8일 때(사인과 코사인 함수의 위상이 45도, 135도, 225도, 315도일 때)입니다. t=0일 때 물체의 위상이 최대이고 속력이 0이므로, 속력이 최대인 때는 T/4, 3T/4입니다. 반대로 위상이 최소이고 속력이 최대일 때는 0, T/2, T에 해당합니다. 따라서 위 문제에서는 m=1kg, k=4N/m을 통해 각진동수와 주기(=π)를 구하고 T/8+T/4=3T/8을 구해야 하므로 답은 2번 3π/8입니다.

여기서 눈여겨보아야 할 점은 위 두 문제를 풀때 위 1)2)3)4)에 주어진 식 중 그 어느 식도 사용하지 않았다는 것입니다. 수식 없이 머릿속으로도 상황을 그려가며 풀 수 있고, 오히려 머릿속으로 풀어야 더 빠르고 효율적으로 풀 수 있게 됩니다.

① 변위와 속력이 각각 최대치의 1/√2가 될 때 탄성퍼텐셜에너지와 운동에너지가 각각 1/2가 되고, 그 때의 주기는 T/8, 3T/8, 5T/8, 7T/8에 해당한다.

② 변위가 최대치의 1/2가 될 때 탄성퍼텐셜에너지가 1/4가 되고 속력은 √3/2, 운동에너지는 1/2가 된다.

③ 속력이 최대치의 1/2가 될 때 운동에너지가 1/4가 되고 변위는 √3/2, 탄성퍼텐셜에너지는 1/2가 된다. 

④ 변위가 최대이고 속력이 0일 때 탄성퍼텐셜에너지와 운동에너지가 각각 최대, 0이 되고 그 때의 주기는 0, T/2, T에 해당한다.

⑤ 속력이 최대이고 변위가 0일 때 탄성퍼텐셜에너지와 운동에너지가 각각 0, 최대가 되고 그 때의 주기는 T/4, 3T/4에 해당한다.

위 다섯 가지 상황이 머릿속으로 그려지지 않는다면 꽤나 애먹을 수 있었던 문제들이었습니다.

마지막으로, 두 가지의 방법으로 풀 수 있는 문제들에 대해 알아보겠습니다.

2011 지방직 7급 물리학개론 2번

위 문제는 3)과 4)의 방법 모두로 풀 수 있습니다.

i. 복원력의 관점)질량에 의한 새로운 평형점을 찾으면

최대로 늘어난 길이는 이전 길이에서 평형점까지의 길이의 2배이고 그 안에서 진동하므로 0.50m(50cm).

ii. 에너지의 관점)

에너지 보존에 의해 Ei=Ef이므로 이를 풀면 h=0.5(50cm)

i)과 ii)의 차이는, 평형점을 어디로 두냐의 차이임과 동시에 물체의 중력에너지를 고려하느냐의 차이기도 합니다. i)에서는 물체의 중력퍼텐셜에너지를 따로 고려하지 않고 용수철-물체를 하나의 계로 보고 평형점을 새로 잡은 것이며, ii)에서는 용수철의 초기 길이를 평형점으로 보고 물체의 중력퍼텐셜에너지와 탄성퍼텐셜에너지가 서로 전환되는 시스템으로 본 것입니다. 또한 두 경우를 수식의 형태로 계산해보면 모두 h=2mg/k로 같은 결과가 나오게 됩니다.

2015년 국가직 7급 물리학개론 14번

i. 복원력의 관점)추가 없을때 평형상태 길이 : 2m

추가 있을때 평형상태 길이

3→1로 2만큼 압축되었으므로 최대 길이는 3+2=5m이다.

ii. 에너지의 관점) 추가 가장 낮을 때 천장에서 추까지의 거리를 h라 하고 에너지 보존 식을 세우면

즉 h=5 또는 h=1인데 h=1일 수는 없으므로 h=5m이다.

이 역시 i)의 방법은 새로운 평형점을 찾아 늘어난 길이를 구한 것이고, ii)의 방법은 기존의 평형점을 이용하되 에너지 보존을 사용한 것입니다. 즉 '복원력을 이용한 방법에서는 새로운 평형점을, 에너지를 이용한 방법에서는 기존의 평형점을 이용한다→풀이 방식에 따라 평형점을 잡는 방식이 달라진다'는 것입니다. 개인적으로는 i)의 방법이 더 간편하다고 생각되므로, 이 방식을 주로 쓰시되 두번째 방법으로도 한 번 풀어보시면 좋을 듯 합니다.