오늘은 Nyquist Plot에 대한 문제를 풀어보겠습니다. 자동제어 중에서도 가장 이해하기도 어렵고 문제 역시 만만치 않은 부분이 바로 Nyquist Plot 부분입니다. 일단 사상(mapping)이라는 개념부터 생소하고, 직관적으로 이해되지 않는 부분이 많기도 합니다. 또 복소평면에 전달함수의 위상과 크기를 모두 나타낼 수 있다는 것은 큰 장점이긴 하지만 문제를 풀기 위해 보았을 때에는 오히려 헷갈리는 방식이기 때문에 어렵게 느껴지기도 합니다. 저도 평소에 직교좌표에만 익숙했기 때문에 이해하는 데 꽤 오래 걸린 듯 합니다. 하지만 오늘은 그런 것 다 완전히 이해할 필요 없이 문제만 빨리 풀 수 있는 방법론을 소개해 드리려고 합니다.
먼저 지금까지 기출된 Nyquist plot 문제는 세 가지 유형으로 나눌 수 있습니다. 1)전달함수 추정, 2)안정성 판정, 3)특정 점에서의 값 구하기 입니다. 오늘은 1)전달함수 추정에 관한 내용을 볼 것입니다.
대부분의 경우 Nyquist Plot이 주어지고 그것에 따른 전달함수를 구하는 형태로 출제됩니다. 그렇다면 우리가 보아야 할 것은 세 가지입니다. 바로 출발점, 도착점, 위상변화 입니다.
1) 출발점
먼저 출발점이란, 입력 주파수 w→0일 때를 말합니다. 만약 0형 시스템이라면, 특정한 값(그 값은 G(0)이 될 것입니다.)이 나타날 것이고 1형/2형/3형 시스템이면 각각 -90°/-180°/-270°의 무한대 지점에서 다가올 것입니다. 이를 그림으로 표현하면 다음과 같습니다. 아래 그림에서 시스템 형(type)에 따라 선도가 각각 어느 각도로부터 출발하는 지를 살펴보세요.
2) 도착점
다음으로 도착점입니다. 도착점은 개루프전달함수의 분모의 차수(n)와 분자의 차수(m)의 차이(n-m)에 따라 결정됩니다. 만약 분모와 분자의 차수가 동일하다면 도착점은 실수축상의 어느 한 지점(그 값은 G(∞)의 값이 될 것입니다.)이 될 것이고, 차이가 1,2,3이라면 각각 -90°/-180°/-270°의 각도로 원점에 수렴하게 됩니다. 이를 그림으로 나타내면 다음과 같습니다. 아래 그림에서 분모와 분자의 차수 차이에 따라 선도가 각각 어느 각도로 원점(또는 실수축)에 수렴하는 지를 살펴보세요.
3) 위상변화
전달함수의 극점 또는 영점이 좌반면 또는 우반면에 존재할 때에 따라 Nyquist Plot의 이득과 위상 변화가 달라집니다. 중요한 성질 중 하나가 i)좌반면 영점과 우반면 극점에서는 위상이 증가하고, 우반면 영점과 좌반면 극점에서는 위상이 감소합니다. 이 관계를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
| 이득 |G| | 위상 ∠G | ||
| 분자(영점) | 좌반면(LHP) | +20[dB] | +90°(반시계방향) |
| 우반면(RHP) | +20[dB] | -90°(시계방향) | |
| 분모(극점) | 좌반면(LHP) | -20[dB] | -90°(시계방향) |
| 우반면(RHP) | -20[dB] | +90°(반시계방향) | |
여기서 이득 변화에는 주목하지 않는 이유는 위의 출발점/도착점에서 이미 이득의 변화가 반영되기 때문입니다. 극점/영점 및 좌반면/우반면에 따른 위상 변화(시계방향/반시계방향)를 암기하는 것을 추천드립니다. 저같은 경우는 분모에 좌반면 극점(s+a)가 있다면 위상이 감소(시계방향)하는 것만 외우고, 부호나 분모분자가 바뀌면 방향도 반대로 바뀐다고 외웠습니다. 또 추가적으로 알아놓으면 좋은 것이, ii)전달함수 전체의 부호를 바꾸면 원점대칭이 된다는 것입니다. Nyquist Plot에 익숙하지 않다면 무슨 말인지 잘 이해가 되지 않을 수도 있는데, 문제를 풀어보면서 보도록 하겠습니다.
Nyquist Plot에서 빨간색 부분만 보고 풀면 됩니다. 나머지 부분은 w<0일 때로, 고려하지 않아도 됩니다.
이러한 문제를 가장 헷갈리지 않고 깔끔하게 푸는 방법은, 출발점, 도착점, 위상변화를 순차적으로 살피고 문제 조건에 맞지 않는 선지를 소거하는 것입니다. 먼저 출발점은 1.5이므로 w→0일 때 1.5가 나와야 합니다. ①②③은 1.5가 나오지만 ④는 30/(1×2×3)=5가 나와 소거됩니다.
도착점은 -270°로 원점에 수렴합니다. 따라서 분모와 분자의 차수 차이는 3입니다. ①, ②가 소거됩니다. 따라서 답은 3번입니다! 이렇게 모든 조건을 따질 필요 없이 선지가 모두 소거되면 답이 저절로 나오게 됩니다.
출발점부터 보면 G(s)와 (s+1)G(s) 모두 1입니다. ①은 -1/2, ③은 1/2가 나오므로 소거합니다.
도착점은 하나는 0이고 하나는 0이 아닙니다. 즉, G(s)와 (s+1)G(s) 중 하나는 분모와 분자의 차수가 같아야 합니다. 이는 ④에서 가능하므로 답은 4번입니다. 분모의 차수는 모두 2이고 2번 선지에서 분자의 차수는 0, s+1을 곱하면 1이 되므로 같아질 수 없습니다. 4번 선지에서 분자에 s+1을 곱하면 분자의 차수가 2가 되므로 가능합니다.
위 Nyquist Plot에서 출발점과 도착점을 구별할 수 없지만 경우의 수를 따져 풀 수 있습니다. w→0을 대입하여 출발점을 구하면 1/b가 되고 이것은 -1 또는 2가 됩니다.
w→∞을 대입하여 도착점을 구하면 a가 되고 이것은 -1 또는 2가 됩니다. 문제 조건에서 a>b이므로 a는 양수인 2가 되고 1/b는 음수인 -1이 됩니다. 따라서 a+b=1이 됩니다.
이렇듯 출발점, 도착점만으로 문제를 해결하는 경우도 있지만 위상변화를 확인해야 하는 문제들도 있습니다.
w→0일 때 b/a=-2이므로 ②④ 선지를 제외합니다.
w→∞일 때 0이 되고, 위상이 -180°에서 -90°으로 증가합니다. 아까 좌반면 영점과 우반면 극점에서는 위상이 증가한다고 했습니다. 따라서 극점이 우반면에 존재해야 하므로 a=-1입니다. 따라서 답은 1번입니다.
먼저 w→0으로 출발점을 구하면 1이 되므로 ②③을 소거합니다. w→∞을 하면 -2가 나와야 하는데, T1>T2>0이므로 1번에서 T1/T2는 음수가 될 수 없고 4번에서는 음수가 되므로 답은 4번입니다.
또한 이 문제는 위상 변화로도 풀 수 있습니다. 위상이 총 -180°만큼 감소하므로, 우반면 영점과 좌반면 극점이 존재해야 합니다. 이에 해당하는 경우는 ②④입니다. 여기서 출발점을 구하면 답이 4번이라는 것을 알 수 있습니다. 참고로 2번과 4번의 경우는 서로 원점대칭의 관계에 있습니다.
오늘 내용을 요약하면 Nyquist Plot에 해당하는 전달함수를 구할 때에는 출발점, 도착점, 위상변화를 순차적으로 살펴보면서 선지를 소거하고, 위상의 두 가지 성질(좌반면 영점과 우반면 극점에서는 위상이 증가하고, 우반면 영점과 좌반면 극점에서는 위상이 감소 / 전달함수 전체의 부호를 바꾸면 원점대칭)을 기억하고 있어야 한다는 것입니다. 이것은 다음에 다룰 Nyquist Plot과 안정성 판정 및 특정 점에서의 값 구하기 유형에서도 유용하게 쓰일 것입니다.
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