오늘은 손쉽게 전달함수의 안정성을 판단할 수 있는 Routh-Hurwitz 판별법에 대한 내용을 보겠습니다. 어려운 내용은 아니지만 문제풀이를 하다보면 가끔씩 헷갈리는 내용들이 있기 때문에 한 번 짚고 넘어가보겠습니다. 아시다시피 RH 판별법에서 안정하기 위해서는 첫번째 열의 모든 성분이 양수여야 합니다. 먼저 그것을 이용한 올해 기출 문제를 풀어보도록 하겠습니다.
1) 일반적인 경우
우선 특성방정식을 세워야 합니다.
RH 판별법을 씁니다.
z, p, K에 대한 조건을 하나씩 세워 봅니다. 우선 s²의 행에서 p>1(②)입니다. 따라서 s¹행에서 분모(p-1)가 양수이므로 분자도 양수가 되어야 합니다.
K에 대해 정리하면(③)
이 때 K>0이고 분자 p(p-1)이 양수이므로 분모 p-z-1도 양수여야 합니다. 즉 z<p-1(①)이어야 합니다. 따라서 답은 4번입니다.
2) 행의 첫 번째 열의 성분이 0이 되는 경우 - 미소양수(ε) 사용
문제를 풀다 보면 행의 첫 번째 열의 성분이 0이 되는 경우가 생깁니다.(1열이 아닌 2, 3열에 0이 생기는 경우는 아무 상관 없이 그냥 풀면 됩니다!) RH를 사용하면 다음과 같습니다.
계산해보면 s²의 행 첫번째 열에서 0이 됩니다. 이것을 미소양수(ε)로 대체하여 다음과 같이 다시 계산합니다.
s¹행은 약분하면 2-3/ε, 즉 음의 무한대라고 볼 수 있습니다(분모가 0으로 가므로). 무한대인 것은 신경쓸 필요 없고, 부호 변화에만 주목하면 됩니다. s²행(+)→s¹행(-)에서 한 번, s¹행(-)→s°행(+)에서 한 번 총 두 번의 부호 변화가 있으므로 RHP에 2개의 근이 존재합니다. 따라서 답은 2번입니다.
3) 0이나 미소양수(ε) 위아래로 부호 변화가 없을 경우 - 1쌍의 허수근
방금 본 경우에서 s²행의 미소양수(ε) 위아래로 부호변화가 있었기 때문에 RHP에 2개의 근이 존재했습니다. 하지만 만약 부호 변화가 없었다면, 1쌍의 허수근(허수축상에 2개의 근 s=aj, s=-aj)이 존재한다고 보면 됩니다.
4) 행의 모든 성분이 0이 될 경우 - 보조방정식 A(s) 사용
또한 어떤 행의 모든 성분이 0이 되는 경우가 있는데, 이런 때에는 보조 방정식을 사용해야 합니다. 보조 방정식이란, 한 행의 식을 미분한 식을 말합니다. RH를 사용하면 다음과 같습니다.
s³ 행에서 모든 요소가 0이 되므로, 보조 방정식을 사용합니다. 이는 바로 위인 s⁴행의 식을 미분하여 얻을 수 있습니다.
8, 20은 각각 4로 약분되므로 2, 5로 나타낼 수 있습니다. 이 보조 방정식의 계수를 그대로 사용하여 RH를 이어서 나타내면 다음과 같습니다.
1) 모든 요소가 0이었던 행(s³)의 아래 행을 가로지르는 선을 그어 줍니다.
2) 선의 아래에 해당하는 부분의 부호 변화를 확인합니다. 부호 변화가 있으므로 s²→s¹과 s¹→s°에서 모두 부호 변화가 있으므로 RHP근이 존재합니다.
3) 선 위로 대칭이 되도록 근을 표시할 수 있습니다. 단 RHP근이었다면 LHP근이 되고, LHP근이었다면 RHP근이 됩니다. 허수축 상 근이었다면 원점대칭해도 그대로 허수축 상에 있으므로 그대로 씁니다.
4) 나머지 부분의 부호 변화를 확인하여 RHP근인지 LHP근인지를 확인합니다. 위 1)~4)를 수행하면 다음과 같습니다.
따라서 RHP근은 2개 존재하고, 이와 원점대칭(어떤 원리인지는 중요하지 않아 설명은 따로 하지 않겠지만 복소평면 상에서 원점대칭인 근이 생긴다는 것을 알고 있으면 됩니다.)인 LHP근이 2개 존재하며, 추가적인 LHP근이 1개로 총 3개의 LHP근이 존재합니다. 따라서 답은 3번이 됩니다. 만약 RH에서 어떤 행의 모든 성분이 0이 되었다면 위와 같은 프로세스를 그대로 진행해주시면 됩니다! 2020년 서울시 문제에서는 꽤나 맞히기 어려운 문제가 출제되었습니다.
RH를 사용하면 다음과 같습니다.
s³행의 성분이 모두 0이 되므로 보조방정식을 사용합니다.
4, 4이므로 약분하여 1, 1로 대체합니다.
아까와 같은 방법으로 진행합니다.
허수축에만 4개의 근이 존재하므로 임계 안정하다고 할 수 있겠지만, 사실은 불안정한 경우입니다. 왜 그런지 설명드리겠습니다. 허수근이 2개와 이들에 대해 원점대칭인 허수근 2개로 총 4개이며, 이들은 각각 s=aj, -aj, -aj, aj라고 할 수 있습니다. 즉 전달함수의 분모에 (s+aj)(s-aj)(s-aj)(s+aj)=(s²+a²)²가 존재하고 있는 경우입니다. 이것을 라플라스역변환하게 되면 tsin(at) 또는 tcos(at) 꼴, 즉 사인/코사인 함수에 t가 곱해진 형태가 나오게 됩니다. t가 없었다면 사인/코사인으로 정현 진동(임계안정) 했을텐데, 추가된 t 때문에 진폭이 점점 커지는 진동을 하게 되므로 불안정해지는 것입니다. 이러한 형태를 잘 기억해야 앞으로 이런 함정에 빠지지 않을 수 있겠지요!
이해하기 쉽도록 지금까지 설명한 모든 경우를 종합하여 그림으로 그려 보았습니다.
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