【자동제어】Nyquist Plot - 안정성 판별 및 특정값 구하기 (2)

저번 시간에 이어 Nyquist Plot의 안정성에 관한 문제를 풀어보겠습니다.

2015년 서울시 7급 자동제어 12번

① Nyquist 선도가 (3,0)에서 시작하고 (1,0)에서 끝납니다. 둘 다 0°이고 위상이 0°→-90°→-180°→-270°→0°로 변하므로 맞는 설명입니다.
② 출발점이 실수축상에 존재하므로 0형 시스템이고, 출발점과 도착점이 모두 실수축 상에 존재하므로 분모와 분자의 차수는 같습니다. 또한 위상이 0°→-90°→-180°→-270°→0°로 감소하므로 분모에 좌반면 극점 2개, 분자에 우반면 영점 2개가 존재합니다. 따라서 원점이나 jw축에 극점이 존재한다고 볼 수 없습니다. 틀린 내용이므로 정답은 2번입니다. 이해가 잘 되지 않는다면 이전 포스팅(【자동제어】Nyquist Plot - 전달함수 선지 소거법)을 참고하세요.
③ (-1,0)을 감싸지 않으므로 N=0이고, G(s)가 불안정 극점이 없다고 했으므로 P=0입니다. 따라서 Z=0으로 모든 K에 대해 시스템은 안정합니다. 옳은 설명입니다.
④ N=0이고 P≠0인 경우이므로 Z≠0이어서 불안정합니다. 옳은 설명입니다.

2019년 국가직 7급 자동제어 6번

s-평면의 우반평면에 극점을 갖지 않는다고 했으므로, P=0입니다. N=P-Z에서 N≠0이면, 즉 Nyquist Plot에서 (-1,0)을 감싸면 불안정한 상황입니다.
여기서 필요한 것이 Nyquist Plot의 생략된 부분을 그리는 방법입니다. 이것은 시스템의 형(type)으로부터 알 수 있습니다. 각 선도의 출발점으로부터 시스템의 형을 추정할 수 있습니다. 각각 ① 0형, ② 1형, ③ 2형, ④ 3형 시스템입니다. 보기에서 생략된 부분을 다음과 같이 그릴 수 있습니다.

이렇게 그려지는 이유는 사상(mapping)의 자세한 원리를 알면 알 수 있지만, 문제 푸는 데는 그 원리를 이해할 필요는 없기 때문에 설명은 하지 않겠습니다. 위 그림에서 바깥의 원형으로 표시된 부분은, 이득이 무한대(∞)임을 나타내는 것입니다. 즉 사실 무한히 멀리 떨어져 볼 수 없는 부분이지만 주파수에 따른 궤적을 표현하기 위해 외곽부분에 원형으로 표기한 것입니다.
규칙은 다음과 같습니다. 0형 시스템의 경우 생략된 부분이 없습니다. 1형 시스템은 우반평면에 시계방향으로 큰 반원이 그려집니다.(②) 2형 시스템은 전체 평면에 시계방향으로 큰 원이 그려집니다.(③) 3형 시스템은 시계방향의 큰 원+좌반평면에 반원이 그려집니다.(④). ①, ②, ③에서 모두 N=0인데 반해 ④에서는 N=-2입니다(점 (-1,0)을 시계방향으로 2번 감싼 것을 알 수 있습니다). 따라서 답은 4번입니다.
안정성에 관한 문제는 여기까지입니다. 다음으로 Nyquist Plot을 통해 특정한 값을 구하는 문제들을 풀어 보겠습니다.

2017년 국가직 7급 자동제어 6번

여기서는 정상상태 출력값을 구하라고 했는데, 이는 최종값 정리를 이용하여 구하면 됩니다.

이 때 단위계단입력이므로 R(s)=1/s가 되어 결과적으로 G(0)의 값을 구하면 되고, 이는 선도에서 보다시피 4입니다. 따라서 답은 3번입니다.

2014년 국가직 7급 자동제어 10번

먼저 전달함수를 먼저 구해야 합니다. 출발점이 K/2여야 하므로 ③, ④는 소거됩니다(출발점이 K/6으로 계산됨). 또는 위상이 0°에서 시작하여 -180°에서 끝나므로 분모에 좌반평면 극점이 2개 존재해야 하는 것에서 ③, ④를 소거할 수도 있습니다.
전달함수에서 wp일 때 허수축(-90°)에 위치하므로, 분모를 계산했을 때 순허수여야 합니다. 그래야 전달함수 전체가 순허수가 되기 때문입니다.

여기서 순허수가 되려면 실수부분이 0이 되어야 하므로 w=√2이고 이 때의 이득을 계산하면 다음과 같습니다.

따라서 답은 2번입니다. 올해 국가직에서 이와 유사한 문제가 출제되었습니다!

2021 국가직 7급 자동제어 20번

위상이 -180°이고 실수축 위에 있으므로, 이번에는 반대로 분모를 계산했을 때 실수여야 합니다.

허수부분이 0이어야 하므로 w=√2여야 하고 즉 b=√2입니다. 전달함수에 w=√2를 대입하면 -1/2가 되므로 a=-1/2입니다. ab²를 계산하면 -1이 나와서 답은 4번입니다.
즉, 위와 같이 Nyquist Plot 상의 특정한 값을 구해야 할 때에는, 그 점의 출발점(G(0))에서의 값, 혹은 실수축 또는 허수축 상에 위치하는 성질 등의 단서를 통해 알아내야 합니다.