【자동제어】이득여유(GM) & 위상여유(PM) 문제의 접근법

오늘은 필수적인 개념인 이득여유와 위상여유 문제의 접근법에 대해 알아보겠습니다. 이 두 개념을 완전히 이해하기란 쉬운 일이 아니지만, 문제풀이로 가면 오히려 어려울 것 없습니다! 다음 두 가지만 기억하시면 됩니다.

1) 이득여유(GM)를 구하려면? 위상교차주파수 wp(∠G=-180°가 되는 주파수)를 찾는다.

2) 위상여유(PM)를 구하려면? 이득교차주파수 wg(|G|=1이 되는 주파수)를 찾는다.

단, 주파수응답에서 이득여유/위상여유는 개루프함수 기준으로 구해야 한다는 것을 잊으면 안됩니다! 또한 이것은 전달함수가 주어졌을 때의 의 방법으로, 보드선도나 나이퀴스트 플롯 등 그래프로 주어진 경우 쉽게 찾을 수 있으므로 굳이 이런 방법을 쓰지 않아도 됩니다. 앞서 개루프→폐루프로 전달함수를 구하는 방법들은 주파수응답 문제들에 대해서는 거의 쓸 일이 없게 됩니다.

간단한 문제를 가지고 풀어보겠습니다.

2007 국가직 7급 자동제어 1번

이득여유를 구하라고 했으므로 위상교차주파수, 즉 위상이 -180도가 되는 주파수를 찾습니다. 다음과 같이 위상을 계산합니다.

양변에 탄젠트를 취하면

여러 문제를 풀면 아시겠지만, 위와 같이 분모가 s(s+a)(s+b) 꼴일 경우 위상교차주파수 wp=√ab가 된다는 것을 알고 있다면  편합니다. 이 주파수를 전달함수에 대입합니다.

 

이득여유 GM=-20log|G(jwp)|이므로

따라서 답은 4번입니다. 마찬가지로 위상여유를 구하는 문제에서는 이득의 크기가 1이 되도록 하는 이득교차주파수 wg를 찾고 대입하여 위상을 구하면 됩니다. 다만 이런 방법이 통하지 않는 경우가 있습니다. 다음과 같은 문제입니다.

2007 국가직 7급 자동제어 3번

위상여유가 주어져 있으므로 이득교차주파수를 구해야지..! 했는데 아마 계산하기 어려웠을 것입니다. 왜냐하면 이득교차주파수를 구하는 식에 K가 들어가기 때문에 사실상 구할 수 없기 때문입니다. 이런 때 문제의 조건, 즉 '위상여유가 45°가 되도록 하는'에 주목해야 합니다. 이것은 복소평면 상에 다음과 같은 상황으로 나타낼 수 있습니다.

위와 같이 -180°에서 45°만큼 증가한 위상을 가진다는 것인데, 여기(파란색 선상)에서의 특징은 실수부와 허수부의 절댓값이 같다는 것입니다. 이 성질을 이용하는 것이 이 문제의 핵심입니다. 전달함수 G(jw)는 다음과 같습니다.

여기서 w=10이어야 실수부와 허수부의 절댓값이 같겠지요? 따라서 w=10일 때 이득이 1이 되어야 합니다.

따라서 답은 2번이 나옵니다. 이 문제에서 배워야 할 것은 위상여유의 값이 문제에 주어져 있을 때에는 이득교차주파수가 아닌 위상여유를 직접 활용하여 K값을 찾아야 한다는 것입니다.

2019 서울시 7급 자동제어 19번

여기서도 이득교차주파수를 구하기 어려우므로 위상을 이용해야 합니다. 위상여유가 30°이므로 위상은 -150°입니다.

|G(jw)|=1이 되어야 하므로

답은 4번이 됩니다.

2015 서울시 7급 자동제어 7번

이것도 같은 방법으로 풀어보겠습니다. 위상여유가 90°이므로 위상은 -90°입니다.

답은 4번이 나옵니다. 위상여유 관련 문제는 이득교차주파수, 이득여유 관련 문제는 위상교차주파수를 구하여 푸는 것이 맞지만, 위에서 본것과 같이 위상여유의 값이 문제에 주어져 있을 때에는 이득교차주파수가 아닌 위상여유를 직접 활용하여 문제를 푸는 것이 올바른 방법이라는 것이 오늘 내용 요약입니다!