【자동제어】Nichols Chart의 해석

오늘은 Nichols Chart의 내용에 대해 알아보도록 하겠습니다. 2021년 국가직 문제에서 처음 등장한 내용인데요, 7급에서는 물론 5급에서도 출제되지 않았던 내용이라 그 누구도 예상하지 못했고 공부했던 사람도 거의 없었을 것이고 풀었던 사람도 거의 없다고 생각했습니다. 하지만 시험 끝나고 막상 찾아보니 그리 어렵지 않은 내용이라 한번 소개해드리려고 합니다.

우선 Nichols Chart이란 무엇인가에 대해 알아보도록 하겠습니다.

Nichols Plot의 예시

앞서 Nyquist plot과 Bode plot에 대해서는 공부했기 때문에 잘 알고 있을 것입니다. Nyquist plot은 극좌표 상에서 각도를 위상, 원점으로부터의 거리를 이득으로 나타낸 것이고, Bode plot은 x축을 주파수로 하고 y축을 각각 위상, 이득으로 한 것입니다.이것도 전달함수의 주파수, 위상, 이득의 관계를 시각적으로 나타낸 것입니다. 위 그래프를 보시면 x축은 phase(위상), y축은 magnitude(진폭 또는 이득)을 나타낸 것이 바로 Nichols Chart이라는 것을 알 수 있습니다.

그렇다면 Nichols Chart의 자세한 특성에 대해 알아보도록 하겠습니다.

1) 먼저 위 그래프의 오른쪽 위를 보시면 G(jw)/K라고 되어 있습니다. 이것이 가리키는 선도가 바로 시스템의 이득-위상을 나타내는 선도입니다. 끝으로 가보면 w→0과 w→∞로 되어 있는 것을 볼 수 있으며 주파수에 따라 이득과 위상의 변화를 볼 수 있습니다. 보통 G(jw)에는 K가 곱해져 있어 K의 값에 따라 이득을 조절할 수 있도록 되어 있습니다. 여기서는 이 전달함수를 K로 나누어 줌으로써 K=1일때의 이득-위상 관계를 나타내고 있습니다.

2) 만약 K=1인 상황을 벗어나 K의 값이 변화한다고 가정한다면, K의 변화에 따라 위 선도는 전체적으로 위/아래로 평행이동합니다. 왜냐하면 K값이 증가하면 위상은 그대로인 채 이득이 증가하고, K값이 감소하면 반대로 이득이 감소하기 때문입니다. y축을 보시면 Magnitude(위상)이 위로 갈수록 증가, 아래로 갈수록 감소하는 것을 볼 수 있습니다. 만일 K가 10dB이면 위 선도는 10dB만큼 위로 올라갈 것입니다.

3) 가운데에서 점점 퍼져나가는 형상을 하는 원형의 모양들은 폐루프 이득이 일정한 지점들을 이은 것으로 M-궤적(constant M-loci)라고 합니다. 폐루프 이득 M값은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

4) 기준점(critical point) : 이득과 위상이 각각 0dB, -180°인 점을 의미합니다. 위 그래프를 보면 M 궤적이 점차 수렴해가는 지점 한가운데에 기준점이 위치하고 있습니다.

5) 이득여유(Gain Margin) : 기준점에서 선도 위상이 -180˚인 점 까지의 거리를 말합니다. Nyquist plot이나 Bode 선도에서의 원리를 떠올린다면 쉽게 이해할 것입니다. 여기서는 10dB가 됩니다.

6) 위상여유(Phase Margin) : 기준점에서 선도 이득이 0dB인 점 까지의 거리를 말합니다. 여기서는 57deg가 됩니다.

7) 이득교차주파수 w_g : 이득이 0dB인 점에서의 주파수, 즉 8rad/s입니다.

8) 위상교차주파수 w_p : 위상이 -180˚인 점에수의 주파수, 즉 20rad/s입니다.

9) 대역폭 w_b : 폐루프이득 M의 크기가 1/√2=0.707인 점에서의 주파수, 즉 15rad/s입니다.

10) 공명주파수 w_r : 폐루프이득 M의 크기가 최대일 때의 주파수, 즉 3rad/s입니다. (가장 작은 원과 접할때와 같습니다.)

11) 첨두공진치 M_r : 폐루프이득 M의 크기가 극대 또는 극소일 때, 즉 M 궤적과 접할때의 폐루프이득값을 말합니다. 여기서는 1.2가 됩니다.

12) 감도 최대크기 S_m : 개루프이득 G에 대한 폐루프이득 M의 감도의 최대 크기를 나타냅니다. 이는 다음과 같이 계산하여 구할 수 있습니다. 우선 M=G/(1+G)이고

와 같이 나타납니다. 즉 1/G(jw)선도와 M 궤적이 접하는 점할 때 M값을 통해 구할 수 있습니다.

13) 임계안정 : Nyquist Plot에서 선도가 (-1,0)을 지날 때, 즉 이득이 0dB이고 위상이 -180°인 점을 지날 때 임계 안정하다고 합니다. 여기서도 마찬가지로 선도가 critical point(=이득이 0dB이고 위상이 -180°인 점)를 지날 때 임계안정한 것을 판단할 수 있습니다.

14) Maximum overshoot : 폐루프이득이 1.4에서 최대이므로 P.O.=40%입니다.

기존 자동제어의 내용들을 잘 이해하고 있다면 위 내용을 익히는 데에는 오래 걸리지 않을 것입니다. 또한 2021년도에 처음 출제된 Nichols Chart문제의 경우 빠르게 해결할 수 있습니다.

2021년 국가직 7급 자동제어 24번

먼저 위상여유 PM을 구하면 기준점(critical point)에서 G(jw) 선도 이득이 0dB인 지점까지의 거리이므로 대략 34°로 나타납니다. Mr과 Sm은 각각 G(jw), 1/G(jw)선도가 M 궤적과 접할 때의 M값이므로 1.8과 2.2가 됩니다. 따라서 답은 1번으로 쉽게 구할 수 있습니다!