【자동제어】비선형의 선형화

비선형의 선형화는 자동제어라기 문제라기 보다는 공업수학 문제에 가깝기 때문에 공부할 필요 없다고 생각했으나.. 2020년 서울시 문제에서 출제되는 바람에 어느정도 대비해야 한다는 생각이 드네요. 어렵지는 않은 개념이니, 간단히 그 방법만 짚고 넘어가도록 하겠습니다.
일단 자동제어에서 우리는 대부분 선형(linear) 시스템만을 다루었습니다. 전달함수의 조건에서 시스템이 선형 시불변(linear, time-invariant)이어야 한다는 것을 기억하고 있을 것입니다. 그런데 때로는 비선형 시스템을 제어해야 할 경우가 생기는데, 그 방법에는 비선형 시스템의 일부 시간 구간에 한하여 선형 시스템으로 근사하는 방법이 있습니다. 이것을 수행하기 위해 비선형 시스템을 선형화 하는 것입니다.
우선 변수와 함수가 각각 하나 씩 존재하는 비선형 시스템의 선형화에 대해 알아보겠습니다. 시스템을 f(x), 변수를 x라 하고 변수 x는 시간 t에 따라 변화하기 때문에 x(t)로 나타낼 수 있습니다. 이 때 특정 시간(t_o)에서 선형화를 한다고 하면, 그 떄의 변수는 x(t_o)이 되고 함수는 f(x(t_o))이 됩니다. 기울기는 df(x)/dt에 t=t_o을 대입했을 때의 값이 되고, 그 함숫값은 선형화된 함수의 변화량을 더한 값이 됩니다. 그것을 식으로 쓰면 다음과 같습니다.

위 식과 그림을 연결지어 생각해본다면 쉽게 이해될 것입니다.
그렇다면 이제 함수와 변수가 각각 2개인 경우를 생각해 봅시다. 이런 때에는 행렬을 나타내면 편리합니다. 변수와 함수를 나타내는 행렬을 각각 다음과 같이 나타내 보겠습니다.

즉 f₁이라는 함수와 f₂라는 함수가 있고, 이들은 각각 변수 x₁과 x₂에 의해 함숫값이 정해지며 변수들은 시간 t에 의해 변화합니다. 결론부터 말하자면 이 때의 선형화 식은 다음과 같은 행렬식입니다.

이 때 F_o, X_o, F'는 다음과 같습니다.

이것은 아까 변수와 함수가 각각 1개일 때를 확장한 형태로, 계산하기 편하게 행렬 형태로 나타낸 것입니다. 여기서 각 행렬의 첫 번째(또는 두 번째) 행만 취하면, 함수가 1개이고 변수가 2개인 형태가 됩니다. 문제풀이를 통해 그 적용법을 알아보겠습니다.

2020 서울시 7급 자동제어 18번

이 문제에서는, dx₁/dt와 dx₂/dt를 각각 함수 f₁, f₂에 해당한다고 보면 되겠습니다. 위 행렬식에서 F를 구해야 할 것이고, 따라서 F', X_o, F_o을 알아야 합니다. 먼저 F'의 각 성분을 구해 보겠습니다. 여기서는 '편미분'의 개념이 필요합니다. 예를 들어 ∂f₁/∂x₁의 경우, f₁의 식에서 x₁만을 변수로 하고 나머지(x₂)는 모두 상수로 보고 미분하는 것입니다.

이 때 x₁=1, x₂=1이므로 대입해주면 각각 4, 8, 0, -1이 나옵니다. x₁과 x₂의 값은 알고 있으므로 X_o을 구할 수 있습니다. 마찬가지로 F_o(f₁과 f₂의 값)은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

위 결과를 토대로 행렬 F를 나타내면 다음과 같습니다.

따라서 3번 선지의 형태가 나옵니다! 이 과정을 연습을 통해 빨리 진행할 수 있어야 할 것입니다. 참고로 이 문제에는 꼼수가 하나 있습니다. 바로 x₁=1, x₂=1을 바로 대입해보는 것입니다. 그러면 f₁은 6, f₂는 -2가 나오는데, 각 선지별로도 똑같이 x₁=1, x₂=1을 대입해보면 동일하게 나오는 선지는 3번밖에 없습니다.