【자동제어】"계산 없이" 전달함수 구하는 방법 - 1

오늘 할 부분은 자동제어 과목 풀이 중에서도 굉장히 유용하고 좋은 팁이라고 생각합니다. 또한 다음에는 정상상태오차에 대한 글을 작성할 생각인데, 그 내용을 배우기 위해 오늘 할 내용을 잘 숙지하고 계신다면 큰 도움이 될 것 같습니다. 왜냐하면 직접 전달함수를 구하는 문제보다는 정상상태오차에 관한 문제가 훨씬 많이 나오고 난이도도 어렵기 때문입니다..! 물론 오늘 알려드릴 전달함수 구하는 꿀팁도 참고하시면 도움이 많이 될 것입니다.
먼저 오늘 할 전달함수 계산법의 유형을 먼저 알려드리겠습니다. 총 5가지 유형이 있습니다. 1)단위피드백의 경우, 2)비단위피드백의 경우, 3)외란이 존재할 때, 4)루프 전 이득이 존재할 때, 5)그 외의 경우 입니다. 또한 추가적으로 6)비단위피드백시스템을 단위피드백 시스템으로 바꾸기, 7)폐루프시스템을 개루프시스템으로 바꾸기에 대해서도 알아보겠습니다.

1) 단위피드백 시스템의 경우

위 블록선도와 같은 상황입니다. G(s)=a/A로 가정하겠습니다. 이 때 우리가 구하고자 하는 것은 Y(s)/R(s)입니다. 그렇다면 다음과 같이 식을 전개할 수 있습니다.

즉 단위피드백 시스템에서 G(s)의 분자 a와 분모 A를 알고 있을 때, 폐루프 전달함수는 분자는 그대로 있고 (분모+분자)가 분모가 된다는 것입니다. +)여기서 두 가지 알아두시면 좋습니다. i) G(s)의 옆에 K나 C(s)같은 요소가 곱해져 있을 때에도 똑같이 성립합니다. ii) 특성방정식 q(s)는 (분모+분자)와 같습니다. 다음 기출문제를 통해 한번 더 살펴봅시다.

 2014 국가직 7급 자동제어 4번

아까 단위피드백 전달함수를 폐루프시스템으로 나타내면 분자는 그대로, 분자와 분모의 합이 분모로 간다고 했습니다. 따라서 KG(s)의 분자는 Kb, 분모는 s²+as가 됩니다. 따라서 답은 1번입니다. 계산할 필요 없이 눈으로만 바로 구할 수 있었습니다.

2) 비단위피드백 시스템의 경우

위 블록선도와 같은 상황입니다. 아까와 비슷하게 G(s)=a/A로, H(s)=b/B라고 하겠습니다. 다음과 같이 식을 구할 수 있습니다.

분자와 분모의 꼴을 잘 살펴봅시다. 일단 분모는 AB+ab로 되어 있으므로 이는 G(s), H(s)의 분모의 곱과 분자의 곱을 더한 것이고, 분자는 aB이므로 G(s)의 분자와 H(s)의 분모를 곱한 것입니다. 다만 H(s)는 특별한 경우가 아니면 분모가 1이므로 그냥 G(s)의 분자라고 보면 됩니다. 복잡하다면 다음과 같이 외우면 됩니다.

T(s)=(바깥곱)/(분모곱+분자곱). G(s)의 분자와 H(s)의 분모는 블록선도에서 각각 바깥쪽에 위치해 있기 때문에 바깥곱이라고 표현했습니다. 이것을 이용하여 다음 문제를 풀어보도록 합시다.

2017(생) 국가직 7급 자동제어 16번

이 문제에서는 특성방정식만 구해서 RH 판별법을 쓰면 되지만 일단 폐루프 전달함수를 구해보도록 하겠습니다. (바깥곱)/(분모곱+분자곱)을 계산하면 다음과 같습니다.

중간 항은 계산 과정을 보여드리기 위해 썼지만 머릿속으로 전달함수를 생각하여 바로 쓸 수 있는 정도입니다.

3) 외란이 있을 때

앞의 경우는 비교적 간단해 일반적인 계산으로도 빠르게 구할 수 있겠지만, 외란이 있거나 하면 조금 더 복잡해집니다. 외란이 있는 경우를 살펴보겠습니다.

Gc(s)=a/A, G(s)=b/B, H(s)=c/C라고 하겠습니다. 먼저 폐루프 전달함수 T(s)=Y(s)/R(s)를 구해보겠습니다.(단, D(s)=0) 식은 다음과 같습니다(따로 유도는 하지 않겠습니다).

이것도 아까와 비슷한 꼴입니다. 분모(특성방정식)은 분자곱+분모곱의 형태이고, 분자는 Gc(s)와 G(s)의 분자 및 H(s)의 분모의 곱으로 나타납니다. 2)의 경우와 동일하게 T(s)=(바깥곱)/(분모곱+분자곱)이 성립합니다!

D(s)=0일 때 Y(s)/R(s)의 블록선도

이번엔 외란에 의한 전달함수 Y(s)/D(s)의 경우에 대해 알아보겠습니다. (단, R(s)=0)

R(s)=0일 때 Y(s)/D(s)의 블록선도

동일하게 Y(s)/D(s)=(바깥곱)/(분모곱+분자곱)입니다. 다만 바깥곱의 정의가 달라진 것이 보이시죠. 바로 전방경로가 변했기 때문입니다. 전방경로를 중심으로 보았을 때 비교적 바깥에 있는 값이라고 생각하고 곱해 주시면 됩니다. 이와 동일한 원리로 신호 R(s)에서 중간지점 M(s)까지의 전달함수도 알아보겠습니다(거의 나오지 않는 유형이긴 합니다). M(s)는 Gc(s)와 D(s)가 만나는 지점이며, D(s)=0을 가정합니다.

D(s)=0일 때 M(s)/R(s)의 블록선도

이번에도 역시 M(s)/R(s)=(바깥곱)/(분모곱+분자곱)이고, 전방경로가 변해서 바깥곱의 정의가 달라졌습니다. 왜 이렇게 바뀌는 지에 대해서는 다음 시간에 설명드릴 것이고, 일단 오늘 나온 유형들은 시각적으로 암기하는 것을 추천드립니다. 위 원리들을 이용해서 기출 문제들을 풀어 보겠습니다!

2014년 서울시 7급 자동제어 6번

T(s)=(바깥곱)/(분모곱+분자곱)을 다음과 같이 바로 구할 수 있습니다.

정상상태 출력은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

4) 루프 전 이득이 존재할 때

간혹 다음과 같이 루프 전 이득이 존재하는 경우가 있습니다.

이러한 경우에는 루프의 모양에 상관없이 그냥 전체 전달함수에 K를 곱해주면 됩니다. 단 이득이 전방경로 상에 존재해야 합니다. 다음 문제를 통해 보겠습니다.

2010년 국가직 7급 자동제어 14번

아래와 같이 Y(s)/D(s)=(바깥곱)/(분모곱+분자곱)를 이용하여 바로 구할 수 있습니다. 다만 루프 전에 이득 F(s)가 존재하는데, 전방경로 상에 존재하지 않으므로 곱할 필요 없습니다.

오늘 한 내용은 처음에는 익숙하지 않아 계산 시간이 오히려 길어질 수도 있습니다. 하지만 반복적인 연습을 통해 계산법을 내 것으로 만들면, 분명히 같은 문제라도 훨씬 빨리 풀 수 있는 상황이 올 것입니다. 내용이 길어지는 바람에 2부로 이어서 진행하겠습니다~!