【자동제어】그래프가 주어졌을 때 라플라스변환 문제풀이

라플라스변환 그래프+도형

자동제어 실전풀이의 첫 글이네요 ^.^ 저는 학부 때 자동제어 과목을 수강한 적이 있음에도 불구하고 공무원 공부했을 때에 처음에 내용이 익숙하지 않아 많이 힘들었던 기억이 나네요. 다른 역학 과목들과는 거리가 있는 내용이라 조금은 낯설 수 있는데, 기출을 몇 번 풀어보다 보면 80%가 반복되는 내용이기도 하고 풀이 시간도 꽤 단축시킬 수 있는 과목이라고 생각합니다.

오늘은 자동제어의 가장 기본이 되는 라플라스변환에 대해 다뤄보겠습니다. 일반적인 라플라스변환 문제의 경우 정석대로 연습하는 것이 제일 좋습니다. 오늘 볼 것은 함수 f(t)가 그래프로 주어졌을 때 그것을 F(s)로 라플라스 변환할 때 어떻게 하면 좀 더 빠르게 풀 수 있는 지를 살펴보도록 하겠습니다.

일반적으로 그래프가 주어지면 그것을 모양에 따라 구간별로 나누어 각각 라플라스 변환하는 것이 정석 풀이입니다. 하지만 그 모양이 복잡한 경우 시간이 오래 걸리게 되는데요, 그래프를 여러 도형으로 나누어 생각하여 풀면 조금 빠르게 풀 수 있습니다. 다음 기출문제를 통해 살펴보겠습니다.

2019 국가직 7급 자동제어 1번

위 문제는 t=0~t=1일 때와 t=1 이상일 때의 그래프 모양이 다릅니다. t=0에서 램프 함수가 주어졌는데 t=1부터는 계단함수로 변했습니다. 이것을 다음과 같이 도형으로 생각해 봅시다. 우선 t=0에서 t=1까지는 램프 함수가 주어집니다. 만약 t=1일 때 아무 신호가 없었다면 그대로 y=x꼴의 그래프가 그려졌을 것입니다. 이것을 도형으로 나타내면 아래와 같습니다.

그렇다면, 이 램프 함수(도형)과 실제 그래프 차이의 면적을 다음과 같이 표시해보겠습니다.

t=1에서 추가된 새로운 신호에 의해 그래프가 파란색 부분의 넓이만큼 변한 것입니다. 원래의 램프 함수(빨간색 부분)에서 파란색 도형의 면적만큼 감소한 것이므로, 이 도형을 그래도 음의 부분으로 옮겨 보겠습니다.

이제 f(t)가 어떻게 형성된 함수인지 보이시나요? 빨간색 면적(+)과 파란색 면적(-)이 각각 함수에 더해지고 빼진 결과가 f(t)로 나타난 것입니다. 이들을 각각 더해주면 됩니다. 우선 빨간색 부분은 단순한 램프함수이므로 라플라스 변환하면 다음과 같습니다.

파란색 부분은 램프 함수인데 t=1만큼 이동했으므로 e^-s를 곱해 주어야 합니다. 따라서 다음과 같습니다.

전체 라플라스 변환은 이들의 합과 같습니다.

따라서 답은 4번입니다. 간단하지요? 이것은 다음과 같이 더 복잡한 상황에서는 훨씬 효과적입니다.

2017년 국가직 7급 자동제어 12번

이 문제도 아까와 같은 방식으로 접근해 보겠습니다. 먼저 t=0~t=1에서 f(t)=5인 계단함수입니다. 따라서 다음과 같은 도형을 생각합니다.

t=1에서 3만큼 감소하므로, f(t)=-3인 신호가 추가되었다고 볼 수 있습니다. 이를 도형으로 그립니다.

t=3에서 다시 3만큼 증가하므로, f(t)=3인 신호가 추가됩니다.

마지막으로 t=4에서 신호가 0이 됩니다. 따라서 f(t)=-5인 신호가 추가된 것이며 다음과 같습니다.

처음부터 그렸던 빨간색, 파란색, 녹색, 노란색에 해당하는 함수의 라플라스변환은 각각 다음과 같습니다.

전체 라플라스 변환은 이들의 합과 같습니다. 1/s로 묶을 수 있으므로

따라서 답은 1번입니다. 이렇게 t의 구간별로 f(t)꼴에 어떤 신호가 추가되어 변화하는지를 생각하면 라플라스변환을 한번에 구할 수 있습니다. 지금까지의 문제가 너무 쉬웠다면 다음 문제도 풀어봅시다.

2018년 국가직 7급 회로이론 15번

회로이론 문제에서도 가끔씩 라플라스 변환 문제가 출제됩니다. 똑같이 생각해 봅시다. 단 머릿속으로 해보아야 실전 상황에서 풀 수 있겠죠?

t=0부터 기울기가 5인 램프함수이므로

t=2부터 기울기가 -10인 램프함수이므로

t=6부터 기울기가 +10인 램프함수이므로

t=8부터 기울기가 -5인 램프함수이므로

위 라플라스 변환을 모두 더하면 다음과 같습니다.

따라서 답은 1번입니다.

2018년 서울시 7급 회로이론 11번

이 문제는 처음 문제와 비슷한 모양이지만, 주기함수입니다. 주기가 T인 주기함수의 경우 분모에 1-e^(-Ts)를 곱해주면 됩니다. 그래프상 주기가 2이므로 t=0~2인 구간을 구해 보면 다음과 같습니다.

빨간색 부분, 파란색 부분, 보라색 부분의 라플라스변환은 각각 다음과 같습니다.

이들을 4/s²로 묶고 분모에 1-e^(-2s)를 곱해주면 전체 라플라스변환은 다음과 같습니다.

따라서 답은 3번입니다. 그래프의 모양이 t에 따라 변화할 때 기존 신호에 비해 어떤 신호가 추가되는 지를 생각하면서 풀면 빠르게 풀 수 있을 것입니다~! 설명을 쉽게 하기 위해 직접 색깔을 칠하면서 풀어 보았는데 전달이 잘 되었을지 모르겠네요.