【물리학개론】굴절과 전반사 간단 풀이법

오늘은 광학에서 굴절과 전반사 문제들에 대해 다루어 보겠습니다. 최근에는 어렵게 출제되고는 있지 않은 유형이나 과거에 몇 번 출제되었고, 풀 때 꽤나 시간을 잡아먹을 수도 있는 유형이기에 한번 보려고 합니다. 우선 문제 유형을 분석하면, 대부분 임계 상황일때의 굴절률, 입사각 등을 물어보는 경우가 많습니다. 이 때 임계 상황이란 어떤 조건을 만족하기 위해 물리량이 최대 또는 최소인 상태를 말합니다. 따라서 이러한 문제 유형에서는 문제를 잘 읽고 어떤 것을 구해야 하는지를 잘 판단할 수 있어야 합니다.

먼저 문제를 풀기 위한 기본 식부터 알아보겠습니다.

굴절 문제를 풀게되면 보통 위의 스넬의 법칙 식으로 풀게 됩니다. 하지만 위 식은 분모, 분자 관계가 헷갈릴 수 있으므로 식을 보다 빠르게 세우고 풀기 위해 다음과 같은 변형 식을 사용합니다.

이 식은 파장, 속력 등의 관계를 나타지는 못하지만 좌변에 입사매질 굴절률, 입사각 그리고 우변에 굴절매질 굴절률과 굴절각을 쓰면 되기 때문에 훨씬 간편합니다. 물론 이는 임계각을 구할 때에도 마찬가지로 유효합니다. 빛이 전반사할 조건을 구하려면, 위 등호를 부등호(>)로 바꾸면 됩니다. 이를 이용해서 다음 문제를 풀어봅시다.

2019 서울시 7급 1회 물리학개론 18번

으로 답 2번을 쉽게 구할 수 있습니다.

2011년 국가직 7급 물리학개론 6번

높이 h가 최소여야 하므로 빛은 용기의 좌측 상단에서 굴절되어 우측 하단에 도달해야 합니다. 굴절각에 sin을 취하면 3/5임을 쉽게 알 수 있습니다(27:36=3:4). 전반사의 식을 나타내 봅시다.

따라서 h는 3:4:5 관계에 의해 30cm가 됩니다.

지금부터 다룰 문제들은 문제 조건을 유심히 살펴보아야 하는 문제들입니다. 문제를 직접 살펴보면서 설명드리겠습니다.

2004년 기술고시 물리학개론 37번

문제에서 '입사각 θ의 최대 크기'를 구하라고 했습니다. 왜 최소 최대중에 최대일까요? 문제를 보면 '광섬유에서 광선이 전파될 수 있는'이라는 표현이 있는데 이는 '어떻게 빛을 쏘아도 전반사가 되는'이라는 뜻입니다. 전반사가 잘 되게 하는 두 가지 방법은 두 물질의 굴절률 차이를 크게 하거나(즉 빛이 전달되는 물질의 굴절률이 크거나) 입사각을 크게 해야 합니다(이것을 기억해놓으면 문제 풀때 도움이 많이 됩니다). 위 그림에서 전반사가 잘 되려면 최초 입사각 θ가 작아야 합니다. 왜냐하면 최초 입사각이 작아야 그 굴절각이 작아지고, 그래야 전반사될 때 입사각이 커지기 때문입니다(둘을 더하면 90°가 되는 관계이므로)

그렇다면 전반사가 잘 되도록 하기 위해 최초 입사각 θ을 작게 했다가, 조금씩 늘린다고 생각해 봅시다. 그렇게 되면 어느순간 임계각에 도달하게 되어 빛이 n1과 n2의 경계면을 따라 진행하는 순간이 오게 될 것입니다. 이때가 바로 θ의 최대크기가 되는 것입니다. 이 과정을 잘 이해하고 있다면 문제 식을 빠르게 세울 수 있을 것입니다. 그 식은 다음과 같습니다.

위 식은 전반사될 때 관계를 나타낸 것이고, θ'는 60°가 나옵니다. 즉 90°-60°=30°가 최초 입사할 때 굴절각이 됩니다. 따라서 다음과 같습니다.

계산해보면 sinθ=√3/2, θ=60°이 나오므로 답은 4번입니다.

2020 지방직 7급 물리학개론 9번

위 문제와 같은 원리입니다. 다만 여기서는 계산 스킬이 조금 필요합니다. 빛의 최초 입사 시 식과 전반사할 때 식을 각각 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

이 때 θr+θc=90°인 것을 이용하면 다음이 성립합니다.

sin과 cos의 관계가 생겼으므로 양변으로 나누어 tan으로 만들어 줍니다.

밑변이 1, 높이가 2인 직각삼각형을 떠올리면 sinθc=2/√5임을 알 수 있습니다. 이를 통해 n을 구해봅시다.

2012년 국가직 7급 물리학개론 6번

이 문제는 그림이 주어지지 않아 실전에서 꽤 풀기 힘들었을 것으로 예상되는 문제입니다. 기본 상황은 위 문제들과 비슷합니다. 다만 여기서는 입사각이나 굴절률에 대한 어느 조건도 주어지지 않았습니다.

 아까 2004 기술고시 문제에서 전반사가 잘 되려면 최초 입사각이 작아야 한다고 했지요? 문제 조건을 잘 보면, '입사각과 상관 없이 광섬유 내부 경계면에서는 항상 전반사를 일으킨다'라고 되어 있습니다. 즉 최초 입사각이 아무리 커진다 해도 여전히 전반사가 되어야 한다는 것입니다. 최초 입사각을 계속 키우다 보면 90°가 될 것이고, 다음 그림과 같은 상황이 됩니다.

이제는 식을 세워서 풀기만 하면 됩니다. 최초 입사와 전반사 시 식을 세우면 다음과 같습니다.

θ2=90°-θ1을 이용하면 다음과 같이 나옵니다.

위 관계가 성립하려면 θ1=45°여야 합니다. 이를 대입하면 n=√2가 되고 답은 2번입니다. 처음엔 좀 어려울 수 있어도 여러번 풀어 보면 유형이 보일 것입니다~!