【자동제어】전달함수로부터 상태공간모델 계산 없이 구하기

이제 자동제어 실전풀이도 막바지로 가고 있네요. 오늘은 상태공간모델에 대한 내용을 다루어볼 텐데, 중간에 넘어간 Root Locus와 Bode Plot, PID 제어기, 진상/보상제어기의 경우에는 정석적인 풀이만으로도 충분하다고 판단하여 따로 다루지는 않을 것 같습니다.

주파수응답에 이어서 상태공간모델 역시 처음 배울 때에 이해하기 이해하기 어려운 것 중 하나입니다. 하지만 상태공간모델은 행렬을 사용하여 2차 제어모델을 간단히 나타내고 빠르게 계산할 수 있는 방법 중 하나로, 실제 시험에서도 꾸준히 몇 문제씩 출제되는 부분이기 때문에 풀이법을 잘 익혀야 할 것입니다. 일반적으로 행렬 A,B,C,D가 주어졌을 대 이를 전달함수로 변환시키기 위해 다음 식이 사용됩니다.

하지만 위 식은 최소 2x2행렬을 계산해야 하기 때문에 시간이 오래 걸립니다. 그러나 실제 문제에서는 이를 직접 행렬로 계산하지 않고도 선지에서 답을 골라낼 수 있는 경우가 꽤 많습니다. 그 원리를 설명드리겠습니다.

어떤 전달함수의 계수가 상태공간모델의 형태로 나타냈을 때 어떻게 나타나는 지의 관계를 다음과 같이 나타낼 수 있다고 하겠습니다.

위와 같은 전달함수가 있다고 가정하겠습니다. (s³+as²+bs+c=(s+α)(s+β)(s+γ)인 상황) 같은 전달함수일지라도, 그것을 상태공간모델(행렬 형태)로 나타낼 수 있는 방법에는 무한히 많은 경우의 수가 있습니다. 그 중에서도 나타내기 쉬운 여섯 가지 형태를 꼽을 수 있는데, 다음과 같습니다.

상태공간모델의 5가지 형태

이렇게 나타나는 이유는 전달함수의 분해(직접분해, 종속분해, 병렬분해 등)에 관한 내용을 찾아보시면 그 유도 과정이 나올 것입니다. 하지만 문제풀이에는 중요하지 않기 때문에 생략하겠습니다. 또 아직 출제되지 않은 유형이긴 하지만, 조던(Jordan) 표준형이라는 형태도 존재합니다. 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

 

위와 같이 고윳값(-α, -β 또는 λ1, λ2로 나타냄)을 대각선 방향으로 계속 나타내었으며, 그 사이에 1이 존재하는 경우 그림과 같이 조던 블록으로 묶을 수 있습니다. 이는 중근을 나타내는 것입니다. 그냥 이런 것이 있구나 하는 정도로 알고 계시면 됩니다. 그렇다면 이제 기출문제를 풀어 보겠습니다.

2017 국가직 7급 자동제어 19번

여기서 전달함수를 구하면 다음과 같이 나옵니다.(전달함수 구하는 방법은 【자동제어】"계산 없이" 전달함수 구하는 방법 - 2를 참조하세요)

 

선지를 보시면, 위 전달함수를 제어기표준형으로 바꾸었을 때 ③번과 같이 나타남을 알 수 있습니다. ①번의 경우 가제어표준형이라고 볼 수도 있지만, -21과 -10의 위치가 바뀌어야 합니다. ②,④번의 경우 가관측표준형이라고 볼 수도 있지만 역시 -21과 -10의 위치가 바뀌어야 합니다.

2017년 국가직 7급(생) 자동제어 3번

위 G(s)의 경우 특이하게 분자의 차수와 분모의 차수가 동일합니다. 이런 경우 분자의 이차항(s²)을 다음과 같이 상수꼴로 분리해 주어야 합니다.

이렇게 분리된 상수(3)은 a₃의 값이 됩니다. 왜냐하면 G(s)=Y(s)/U(s)인데 y=...+a₃×u로 나타나므로 그렇습니다. 그리고 문제에 주어진 행렬 A를 보면 가관측표준형으로 나타낸 형태임을 알 수 있습니다. 따라서 a₁=21, a₂=-11이 나옵니다. a₁+a₂+a₃의 값은 21+(-11)+3=13으로 답은 3번입니다. 다음 문제는 3x3 행렬의 경우인데, 이 경우 계산하는 데 시간이 상당히 오래 걸리게 됩니다. 하지만 다음과 같은 방식으로 빠르게 풀 수 있습니다.

2011년 국가직 7급 자동제어 11번

블록선도를 보면

이므로

로 쓸 수 있습니다. 선지 ①②의 A행렬을 보면 대각선표준형이라고 생각할 수 있지만, 대각선표준형의 경우 B와 C행렬에서 0이 존재하지 않습니다. 따라서 틀린 선지라고 볼 수 있습니다. 선지 ③과 ④를 보면 A행렬은 같고 B행렬과 C행렬만 살짝 다른 것을 볼 수 있습니다. 이 때 문제의 블록선도에서 제일 왼쪽에 있는 U(s)와 X₃(s)의 관계를 보면 다음과 같습니다.

이것을 라플라스역변환하면 다음과 같이 나옵니다.

③번과 ④번에서 A행렬의 세 번째 행을 보면, [0 0 3]이고 B행렬의 경우 세 번째 행의 값이 ③에서는 k, ④에서는 1이 나옵니다. 위 라플라스역변환 식에서 u에 k가 곱해져야 하고, 행렬 B에 입력 U(s)가 곱해져 계산되므로 답은 3번임을 추론할 수 있습니다. 즉 이 문제는 블록선도로부터 선지 소거를 통해 충분히 답을 골라낼 수 있는 문제였습니다!

2020년 서울시 7급 자동제어 20번

<보기>에 주어진 형태는 가제어표준형임을 쉽게 알 수 있습니다. 특성방정식은 다음과 같습니다.

먼저 ①번의 경우 가관측표준형의 꼴이며 ④번의 경우 어떤 형태도 아닙니다. 문제에서 대각선표준형으로 구하라고 했으므로 답에서 제외합니다. 대각선표준형의 경우 대각선에 고윳값(특성방정식 q(s)=0의 해)이 차례로 놓여야 하는데, ③번의 경우에는 특성방정식의 계수가 차례로 놓여져 있습니다. 따라서 틀린 선지라고 볼 수 있습니다. ②번의 경우 다음과 같이 식을 전개하여 답임을 확인할 수 있습니다.

따라서 답은 4번입니다.