【자동제어】Nyquist Plot - 안정성 판별 및 특정값 구하기 (1)

저번에 이어서 Nyquist Plot 문제를 보겠습니다. Nyquist Plot에는 3가지 유형이 있다고 했습니다. 1) 전달함수 추정, 2) 안정성 판정, 3) 특정값 구하기 입니다. 오늘은 안정성 판정에 해당하는 문제들부터 볼 것인데 어렵지 않습니다. 다음과 같은 식을 보셨을 것입니다.

그런데 위 식에서 N, P, Z의 의미가 꽤나 헷갈리기도 합니다. 먼저 Nyquist Plot이란 무엇인가?에 대한 정의가 필요할 것입니다.
우리는 주파수응답에서 입력을 s라 하고 개루프함수 G(s)(또는 G(s)H(s))를 통해 출력을 계산합니다. 여기서 s-평면에 특정한 폐경로를 그립니다. 그것을 contour(=경로)라 합니다(주로 우반면 전체를 감싸는 폐경로를 그립니다). 그것을 G 또는 GH 평면으로 사상(mapping)한 것이 Nyquist Plot이 됩니다. 즉 입력이 1+j이고 그에 대한 전달함수의 출력이 2+3j라면, s-평면 상의 점 1+j를 사상한 것이 GH 평면상에서 2+3j의 위치에 찍히게 되는 것입니다.
N, P, Z의 의미를 다음과 같이 표로 정리해 보았습니다.

	s-평면	GH 평면(Nyquist Plot)
N	-	경로가 (-1,0)을 감싼 횟수
P	contour 내의 극점 수	우반면의 개루프극점 수
Z	contour 내의 영점 수	우반면의 폐루프극점 수

올해 이와 관련된 개념적인 문제가 출제되었습니다.

2021 국가직 7급 자동제어 22번

그림에 s-평면과 contour가 주어졌고, 내부에 각각 극점과 영점이 하나씩 있습니다(P=1, Z=1). N=P-Z에서 N=0이고 G(s)평면으로 사상된 폐곡선에서 원점을 감싸지 않게 됩니다. 참고로 Nyquist Plot에서 안정도를 판별할 때에는 특성방정식이 1+GH가 되므로 GH=-1인 점, 즉 (-1,0)을 기준으로 감싼 횟수를 세지만 여기서는 안정성을 따지는 것이 아닌 단순히 사상한 것이므로 원점을 기준으로 감싼 횟수를 판단합니다.
어떤 시스템이 안정할 조건은 우반면의 폐루프극점이 없어야 하므로 Z=0일 때입니다. Nyquist Plot에서 N과 P의 값을 이용해 Z의 값을 구하고 이를 토대로 안정성을 판단할 수 있습니다. 다음 문제를 통해 자세히 알아보겠습니다.

2021 서울시 7급 자동제어 11번

개루프함수의 우반평면 극점의 개수를 A라 했으므로 A=P로 보면 됩니다.
① N=0, P=0이므로 N=P-Z에서 Z=0이 되어 안정합니다. 옳은 설명입니다.
② N=1, P=1이므로 N=P-Z에서 Z=0이 되어 안정합니다. 옳은 설명입니다.
③ P의 정보가 필요하므로 옳은 설명입니다.
④ N=-1, P=1이므로 N=P-Z에서 Z=-2가 되어 불안정합니다. 따라서 답은 4번입니다.

2007년 국가직 7급 자동제어 8번

ㄱ. Nyquist 안정도 판별법은 개루프 전달함수를 이용해 폐루프 제어시스템의 안정도를 판별하는 방법으로, 옳은 설명입니다.
ㄴ. N=0이지만 P가 0인지는 알 수 없고 Z도 마찬가지로 0인지 알 수 없어 항상 안정하다고 할 수 없습니다. 틀린 설명입니다.
ㄷ. 옳은 설명입니다.
ㄹ. N=1인 상황에서 P의 값을 알 수 없으므로 Z도 알 수 없기 때문에 항상 안정하다고 할 수 없습니다. 우반 s-평면의 극점이었다고 하면 P=1이 되겠지만, 영점이라고 했으므로 P의 값에 영향을 주지 않습니다. 따라서 틀린 설명입니다.

2019 서울시 7급 자동제어 20번

우선 위 그래프에서 N=1임을 알 수 있습니다. Nyquist Plot은 -2에서 시작하여 원점에서 끝납니다. 이 과정에서 위상이 -180°에서 -90°로 향해 증가(반시계방향)했다가 -180°로 감소하고, -270°에서 끝나는 것을 볼 수 있습니다. 조건에서 극점만이 존재하고 좌반면 극점에서 위상이 감소, 우반면 극점에서 위상이 증가하므로 좌반면 극점이 2개, 우반면 극점이 1개인 것을 알 수 있습니다. (이전 포스팅 【자동제어】Nyquist Plot - 전달함수 선지 소거법 참조) 개루프극점의 개수가 P이므로 P=1입니다. N=P-Z에서 1=1-Z이므로 Z=0(폐루프극점의 수)이고, 따라서 답은 3번(0개) 입니다.